Путеводитель по задачам С4 (№16)
Трапеция с большим основанием и высотой вписана в окружность. Прямая вторично пересекает эту окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Прямые и пересекаются в точке . Найдите , если радиус окружности равен , а площадь четырёхугольника в раз больше площади треугольника .
Ответ: Решение
-12. (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах и треугольника отмечены точки , и соответственно, причём , , . Отрезки и пересекаются в точке . а) Докажите, что — параллелограмм. б) Найдите , если отрезки и перпендикулярны, .
Ответ: 17. Видеорешение
-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая касается первой окружности в точке , а второй — в точке . Прямая пересекает первую окружность в точке , прямая пересекает вторую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны и .
-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника описана окружность. Прямая , где — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке .
б) Найдите расстояние от точки до прямой , если а радиус описанной окружности равен . Ответ: Решение
-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника с различными сторонами описана окружность. – диаметр. Высота повторно пересекает окружность в точке . Угол равен , угол – a) Докажите, что .б) Найдите , если радиус окружности равен . Ответ: Решение
-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром касается оснований и и боковой стороны трапеции . Окружность с центром касается сторон , и .Известно, что а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции б) Найдите . Ответ: Решение
-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике угол тупой, — точка пересечения продолжений высот, угол равен °.а) Докажите, что угол равен °.б) Найдите , если Ответ: Решение
-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике известны стороны и диагональ:
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.б) Найдите Ответ: Решение
-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны и , а её диагонали равны и .
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции. Ответ: Решение
-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами и пересекаются в точках и , причём точки и лежат по разные стороны от прямой . Продолжения диаметра первой окружности и хорды этой окружности пересекают вторую окружности в точках и соответственно.
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите , если радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и . Ответ: Решение
-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка – середина боковой стороны трапеции На стороне отмечена точка так, что Прямые пересекаются в точке
б) Найдите отношение оснований трапеции и если площадь треугольника составляет площади трапеции Ответ: Решение
-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию с основаниями и вписана окружность с центром .
б) Найдите площадь трапеции, если , а основания равны и .
Ответ: Решение
-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию , касается ее боковых сторон и в точках и соответственно. Известно, что и
б) Найдите длину отрезка , если радиус окружности равен . Ответ: Решение
0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017) В треугольнике точки ‐ середины сторон , и соответственно, ‐ высота, .
а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если Ответ: Решение
1. (МГУ, 2015) Окружность радиуса касается середины стороны треугольника и пересекает сторону в точках и , так что Чему может равняться если ? Ответ: Решение
2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) В прямоугольном треугольнике с прямым углом точки и – середины катетов и соответственно, – высота.
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Пусть – точка пересечения прямых и , а – точка пересечения прямых и . Найдите площадь треугольника , если Ответ: Решение
3. (ЕГЭ, 2016) В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям. Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение если угол равен Ответ: Решение
4. (ЕГЭ, 2016) В треугольнике проведены высоты и . На них из точек и опущены перпендикуляры а) Докажите, что прямые и параллельны.б) Найдите отношение , если угол равен Ответ: Решение
5. (ЕГЭ, 2016) В трапеции точка – середина основания , точка – середина боковой стороны . Отрезки и пересекаются в точке .а) Докажите, что площади четырёхугольника и треугольника равны.б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника , если Ответ: Решение
6. (Диагностич., 2016) Окружность, проходящая через вершины и прямоугольной трапеции с основаниями и пересекает меньшую боковую сторону в точке и касается прямой . Известно, что
а) Докажите, что – биссектриса угла
б) В каком отношении прямая делит площадь трапеции? Ответ: Решение
7. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника , ‐ центр вписанной в него окружности, ‐ точка пересечения высот. Известно, что
а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника .
б) Найдите угол , если Ответ: Решение
8. (ЕГЭ, 2015) Две окружности касаются внутренним образом в точке , причем меньшая проходит через центр большей. Хода большей окружности касается меньшей в точке . Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно.
а) Докажите, что прямые и параллельны.б) Пусть – точка пересечения отрезков и . Найдите , если радиус большей окружности равен , а . Ответ: Решение
9. ( Диагностич. , 2014) Две окружности пересекаются в точках и . Прямая, проходящая через точку , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке . Прямая, проходящая через точку параллельно , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке .
а) Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
б) Найдите отношение , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. Ответ: Решение
10. ( ДЕМО , 2014) Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая касается первой окружности в точке , а второй – в точке . Прямая пересекает первую окружность в точке , а прямая пересекает вторую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны и . Ответ: Решение
11. ( Диагностич. , 2013) Медианы , и треугольника пересекаются в точке . Точки , и – середины отрезков , и соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника .
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что , и . Ответ: Решение
12. ( Диагностич. , 2013) Биссектриса угла параллелограмма пересекает прямую в точке . В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны в точке и стороны в точке а) Докажите, что прямые и параллельны.б) Найдите угол , если известно, что и Ответ: Решение
13. (Т/Р Ларина) Две окружности имеют общий центр . На окружности большего радиуса выбрана точка .
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки , ни от выбора диаметра.б) Известно, что радиусы окружностей равны и . Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка , тангенс угла этого треугольника равен Ответ: Решение
14. (Т/Р Ларина) В окружность радиуса вписан четырехугольник , – точка пересечения его диагоналей, , . Высота, опущенная из точки на сторону , равна , а площадь треугольника равна .
а) Докажите, что – равнобедренная трапеция.
б) Найдите стороны , и радиус окружности . Ответ: Решение
15. (Т/Р Ларина) Окружность касается сторон и треугольника соответственно в точках и , точки лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник равнобедренныйб) Найдите длину высоты треугольника , опущенной из точки , если стороны и равны соответственно и . Ответ: Решение
16. (Т/Р Ларина) Прямая, параллельная гипотенузе прямоугольного треугольника , пересекает катет в точке , катет – в точке , причем и . На гипотенузе
взята точка так, что , а величина угла равна градусов.
а) Докажите, что треугольник равностороннийб) Найдите площадь треугольника . Ответ: Решение
17. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внутренним образом в точке так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке . Прямые и вторично пересекают меньшую окружность в точках и соответственно.
а) Докажите, что .б) Найдите площадь треугольника , если а радиус большей окружности равен . Ответ: Решение
18. (Т/Р Ларина) В треугольнике на стороне отмечена точка , при этом , ,
а) Докажите, что углы и равны.б) Найдите площадь треугольника , если известно, что угол равен . Ответ: Решение
19. (Т/Р Ларина) В окружности проведены хорды и , пересекающиеся в точке , причем касательная к окружности, проходящая через точку , параллельна .
а) Докажите, что б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , а площадь треугольника равна . Ответ: Решение
20. (Т/Р Ларина) В ромб вписана окружность . Окружности и (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности и двух соседних сторон ромба.
А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью , составляет менее % площади ромба.Б) Найдите отношение радиусов окружностей и , если известно, что диагонали ромба относятся, как . Ответ: Решение
21. (Т/Р Ларина) Из точки , взятой на окружности с центром в точке , на диаметры и опущены перпендикуляры и соответственно.a) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек .
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , , а радиус окружности равен . Ответ: Решение
22. (Т/Р Ларина) В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты и . Точки и симметричны середине стороны относительно прямых и соответственно.а) Докажите, что отрезки и лежат на параллельных прямых.Б) Найдите расстояние между точками и , если известно, что , , . Ответ: . Решение
23. (Т/Р Ларина) На основании равнобедренного треугольника взята точка . Окружности и , вписанные в треугольники и , касаются прямой в точках и соответственно.а) Докажите, что .
б) Определите, на сколько радиус окружности больше радиуса окружности , если известно, что , а радиус вписанной в треугольник окружности равен . Ответ: . Решение
24. (Т/Р Ларина) Даны треугольники и . Прямые пересекаются в одной точке. Прямые и пересекаются в точке Прямые и пересекаются в точке . Прямые и пересекаются в точке .
а) Докажите, что точки лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника , если высоты треугольника равны , а высоты треугольника равны Ответ: Решение
25. (Т/Р Ларина) Внутри равностороннего треугольника в произвольном месте поставлена точка .а) Докажите, что сумма расстояний от точки до сторон треугольника равна высоте этого треугольника.б) Найдите расстояние от точки до стороны , если расстояние от точки до сторон и соответственно равны и , а площадь треугольника равна . Ответ: Решение
26. (Т/Р Ларина) Дан треугольник . В нём проведены биссектрисы и , каждая из которых равна .
а) Докажите, что треугольник – равнобедренный.б) Найдите площадь треугольника , если его основание равно . Ответ: Решение
27. (Т/Р Ларина) Около окружности описана равнобедренная трапеция . и – точки касания этой окружности с боковыми сторонами и . Угол между основанием и боковой стороной трапеции равен .
а) Докажите, что параллельно .
б) Найдите площадь трапеции , если радиус окружности равен Ответ: Решение
28. (Т/Р Ларина) В равнобокой описанной трапеции , где угол тупой, а и – основания, проведены:
1) биссектриса угла ;
2) высота из вершины ;
3) прямая, параллельная и проходящая через середину отрезка .а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции , если известно, что , . Ответ: Решение
29. (Т/Р Ларина) В равнобедренную трапецию с основаниями и вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, второй раз пересекает большее основание в точке .
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно и . Ответ: . Решение
30. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность. Прямые и пересекаются в точке .
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , а площадь четырехугольника равна . Ответ: . Решение
31. (Т/Р Ларина) На сторонах прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полуокружности и ( см. рис.).а) Докажите, что площадь треугольника равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями и и полуокружностями и .б) Пусть прямая касается в точке , а в точке . Найдите длину отрезка , если известно, что сумма площадей двух луночек равна . Ответ: Решение
32. (Т/Р Ларина) Точка лежит на диаметре окружности с центром .
и – точки окружности, расположенные по одну сторону от , причем .
а) Докажите, что б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что . Ответ: Решение
33. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике синус угла равен . На гипотенузе взята точка , а на катете – точка . Известно, что прямая перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник на две равновеликие части.а) Докажите, что в четырехугольник можно вписать окружность.б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что . Ответ: Решение
34. (Т/Р Ларина) К двум окружностям с центрами и и радиусами и проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть и – точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.а) Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность.б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что . Ответ: Решение
35. (Т/Р Ларина) а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.б) В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота . Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники , и , если известно, что .Ответ: Решение
36. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике с катетами и проведены медиана и биссектриса
а) Докажите, что площадь треугольника составляет одну десятую часть от площади треугольника
б) Найдите угол Ответ: Решение
37. (Т/Р Ларина) В прямоугольный треугольник вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке , а катетов – в точках и .а) Докажите, что площадь треугольника равна .б) Найдите площадь треугольника , если известно, что Ответ: Решение
38. (Т/Р Ларина) Окружности с центром и окружность с центром касаются внешним образом. Из точки к проведена касательная , а из точки к проведена касательная ( и – точки касания).a) Докажите, что углы и равны.б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что точки и лежат по одну сторону от прямой , а радиусы окружностей равны соответственно и . Ответ: Решение
39. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике проведены медианы и . Известно, что около четырехугольника можно описать окружность.а) Докажите, что .б) Пусть . Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника . Ответ: Решение
40. (Т/Р Ларина) Две окружности пересекаются в точках и . Через точку проведены диаметры и этих окружностей.
а) Докажите, что точки и лежат на одной прямой.
б) Найдите произведение , если известно, что а диаметр окружности, описанной около треугольника равен Ответ: Решение
41. (Т/Р Ларина) В треугольнике проведена биссектриса . Касательная к описанной окружности треугольника , проходящая через точку , пересекает прямую в точке .а) Докажите, что .б) Найдите длину отрезка , если известно, что Ответ: Решение
42. (Т/Р Ларина) Через вершины и прямоугольного треугольника ( ) проведена окружность с центром в точке , касающаяся прямой и пересекающая продолжение стороны в точке .а) Докажите, что сумма углов и равна .б) Найдите диаметр окружности, если известно, что , . Ответ: Решение
43. (Т/Р Ларина) В четырехугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке , а биссектриса угла пересекает сторону в точке . Известно, что – параллелограмм.а) Докажите, что – параллелограмм.б) Найдите площадь четырехугольника , если , , а угол между диагоналями и равен . Ответ: Решение
44. (Т/Р Ларина) В трапеции площадью, равной 30, диагонали и взаимно перпендикулярны, а . Продолжения боковых сторон и пересекаются в точке .а) Докажите, что трапеция – равнобедренная.б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , а Ответ: Решение
45. (Т/Р Ларина) Окружность проходит через вершину прямоугольника , касается стороны , пересекает сторону в точке и касается стороны в точке .
а) Докажите, что угол равен углу .б) Найдите сторону , зная, что , Ответ: Решение
46. (Т/Р Ларина) На диаметре окружности выбрана точка . На отрезках и как на диаметрах построены окружности и соответственно. Прямая пересекает окружность в точках и , окружность – в точках и , а окружность – в точках и .
а) Докажите, что .б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей , и , если известно, что , . Ответ: Решение
47. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике проведены высоты и .а) Докажите, что углы и равны.б) Вычислите длину стороны , если известно, что периметр треугольника равен см, периметр треугольника равен см, а радиус окружности, описанной около треугольника равен см. Ответ: Решение
48. (Т/Р Ларина) Площадь треугольника равна 72, а сумма длин сторон и равна 24.а) Докажите, что треугольник прямоугольный.б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник , если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне . Ответ: Решение
49. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике ( ) проведены биссектрисы , , .a) Докажите, что треугольник – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что площадь треугольника равна , а косинус угла равен . Ответ: Решение
50. (Т/Р Ларина) – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника . Периметры треугольников , , и равны между собой.
а) Докажите, что в четырехугольник можно вписать окружность.б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если радиусы окружностей, вписанных в треугольники , и равны соответственно , и . Ответ: Решение
51. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике ( ) проведены высоты , и .
a) Докажите, что треугольник – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что площадь треугольника равна 12, а косинус угла равен . Ответ: Решение
52. (Т/Р Ларина) Окружность касается стороны параллелограмма , пересекает стороны и в точках и соответственно и проходит через вершины и .а) Докажите, что .б) Найдите , зная, что , , Ответ: Решение
53. (Т/Р Ларина) Равносторонний треугольник вписан в окружность. На окружности отмечена точка , не совпадающая ни с одной из точек , и .
а) Докажите, что расстояние от точки до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках , , и , если известно, что его площадь равна , а радиус окружности равен . Ответ: Решение
54. (Т/Р Ларина) В равнобедренной трапеции точки и – середины оснований и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников и .
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что , , . Ответ: Решение
55. (Т/Р Ларина) В выпуклом четырехугольнике диагонали и взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек и опущены перпендикуляры на прямую . Они пересекают прямые и соответственно в точках и .
а) Докажите, что – ромбб) Найдите отношение площади четырехугольника к площади вписанного в него круга, если Ответ: Решение
56. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются в точке .
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что угол равен , а площадь треугольника равна . Ответ: Решение
57. (Т/Р Ларина) Точка – середина стороны параллелограмма , прямые и взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке .а) Докажите, что площади треугольников и равны.б) Найдите площадь параллелограмма , если , . Ответ: Решение
58. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая касается первой окружности в точке , а второй – в точке .a) Докажите, что треугольник прямоугольный.б) Найдите площадь треугольника , если радиусы окружностей и . Ответ: Решение
59. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к , пересекает сторону в точке .
а) Докажите, что – медиана треугольника .б) Найдите длину отрезка , если , и угол равен . Ответ: Решение
60. (Т/Р Ларина) В треугольнике на стороне выбрана точка так, что . Точка – середина стороны . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что треугольники и имеют равные площади.б) Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника равна . Ответ: Решение
61. (Т/Р Ларина) В треугольнике , . Окружность с центром на стороне проходит через вершину , точку пересечения биссектрисы угла со стороной и центр вписанной в треугольник окружности.а) Докажите, что прямая параллельна прямой ;б) Найдите радиус описанной около треугольника окружности. Ответ: . Решение
62. (Т/Р Ларина) Биссектрисы и треугольника пересекаются в точке , причем , В четырехугольник вписана окружность.а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности. Ответ: Решение
63. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике – основание. На продолжении стороны за точку отмечена точка так, что угол равен углу .
а) Докажите, что – биссектриса угла .
б) Найдите длину отрезка , если боковая сторона треугольника равна 5, а его основание равно . Ответ: Решение
64. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность. Точка лежит на его стороне , причем и , и .
a) Докажите, что треугольники и подобны;
б) Найдите . Ответ: Решение
65. (Т/Р Ларина) Прямая , параллельная основаниям и трапеции , пересекает прямые , , в точках , и соответственно, причём .
а) Докажите, что точки пересечения прямой с диагоналями и делят отрезок на три равных части;
б) Найдите , если , . Ответ: Решение
66. (Т/Р Ларина) Хорда стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка лежит на этой дуге, а точка лежит на хорде . При этом .а) Докажите, что угол равен б) Найдите площадь треугольника . Ответ: Решение
67. (Т/Р Ларина) Трапеция ABCD c углами при одном основании и описана около круга.а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой .
б) Найдите площадь прямоугольной трапеции , если , а площадь вписанного круга равна . Ответ: Решение
68. (Т/Р Ларина) Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами описана окружность.а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как ;
б) Найдите площадь четырёхугольника, если , , , . Ответ: Решение
69. (Т/Р Ларина) Площадь треугольника равна 10; площадь треугольника , где – точка пересечения высот, равна 8. На прямой взята такая точка , что треугольник – прямоугольный.
а) Докажите,что б) Найдите площадь треугольника Ответ: Решение
70. (Т/Р Ларина) В треугольнике основание , площадь треугольника равна . Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.
а) Докажите,что .б) Найдите меньшую из боковых сторон. Ответ: Решение
71. (Т/Р Ларина) Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N. Ответ: Решение
72. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаютсяв точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к , пересекает сторону в точке .а) Докажите, что – медиана треугольника б) Найдите , если , и угол равен 60°. Ответ: Решение
73. (Т/Р Ларина) Медианы треугольника равны , и .а) Докажите, что медианы разбивают треугольник на равновеликих треугольников;б) Найдите площадь треугольника . Ответ: Решение
74. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике проведены высоты и
а) Докажите, что углы и равны.
б) Найдите длину отрезка , если известно, что Ответ: Решение
75. (Т/Р Ларина) Высота равнобедренной трапеции ( и – основания) равна длине её средней линии.а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон , и трапеции, если известно, что , . Ответ: Решение
76. (Т/Р Ларина) Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями и вписан в окружность.а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что Ответ: . Решение
77. (Т/Р Ларина) В треугольнике
Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны в точке .
б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах и , перпендикулярного и касающегося окружности ω. Ответ: Решение
78. (Т/Р Ларина) Точка лежит на диаметре окружности с центром . и – точки окружности, расположенные по одну сторону от , причем
а) Докажите, что б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках , если известно, что . Ответ: Решение
79. (Т/Р Ларина) В окружность с центром в точке вписан прямоугольный треугольник с гипотенузой . На большем катете взята точка так, что . Точка – середина дуги .
а) Докажите, что б) Найдите площадь пятиугольника , если известно, что Ответ: Решение
80. (Т/Р Ларина) Окружность ω с центром в точке касается стороны треугольника в точке и продолжений сторон и . Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке касается стороны в точке .а) Докажите, что .б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
Ответ: Решение
81. (Т/Р Ларина) Дан квадрат . Точки – середины сторон и соответственно. пересекает в точке ; пересекает в точке ; пересекает в точке .
А) Докажите, что точки лежат на одной окружности;Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник , если
Ответ: Решение
82. (Т/Р Ларина) На диагонали параллелограмма отмечены точки и , причем . Прямые и пересекают стороны и в точках и
соответственно.a) Докажите, что б) Найдите площадь параллелограмма , если известно, что площадь пятиугольника равна .
83. (Т/Р Ларина) Хорда окружности параллельна касательной, проходящей через точку , лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке .А) Докажите, что треугольник равнобедренный.Б) Найдите отношение, в котором хорда делит диаметр , если известно, что
84. (Т/Р Ларина) Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник , касается основания в точке . Вторая окружность касается основания и продолжений боковых сторон.А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен , а . Ответ: . Решение
85. (Т/Р Ларина) В треугольнике стороны . Первая окружность вписана в треугольник , а вторая касается и продолжения сторон и .
А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно .Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны , если .
86. (Т/Р , 2017) Дана трапеция с основаниями и . Диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями и .а) Докажите, что луч — биссектриса угла .б) Найдите , если известны диагонали трапеции:
87. (Т/Р Ларина) Окружность касается прямых и соответственно в точках и . Точка лежит между и , а тока – между и . Точки , , , лежат на одной окружности.
a) Доказать, что треугольники и подобны.б) Найти площадь , если и радиус окружности, вписанной в треугольник , равен .
88. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике из вершин и опущены высоты и на стороны и Известно, что площадь треугольника равна , площадь треугольника равна , а длина отрезка равна а) Доказать, что треугольники и подобны.б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника .
89. (Т/Р Ларина) Точки и – середины сторон и выпуклого четырехугольника . Диагональ проходит через середину отрезка .
а) Докажите, что площади треугольников и равны.б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если известно, что а площадь четырехугольника равна .
90. (Т/Р Ларина) Дан квадрат . На сторонах и внешним и внутренним образом
соответственно построены равносторонние треугольники и .
а) Докажите, что точка лежит на прямой .б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что .
91. (Т/Р Ларина) Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Окружности и описаны около треугольников и соответственно. Пусть – центр окружности , а – центр окружности .а) Докажите, что прямая касается окружности , а прямая касается окружности .б) Найдите длину отрезка , если известно, что
92. (Т/Р Ларина) В прямоугольнике на стороне отмечена точка так, что .
а) Докажите, что делит площадь треугольника в отношении .
б) Пусть – точка пересечения и , – точка пересечения и . Найдите длину отрезка если
93. (Т/Р Ларина) Окружности с центрами в точках и и радиусами, равными и соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка , , .а) Докажите, что отношение площади треугольника к площади треугольника равно
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если известно, что .
94. (Т/Р Ларина) В параллелограмме диагональ равна стороне .
а) Докажите, что прямая касается окружности ω, описанной около треугольника .
б) Пусть прямая вторично пересекает ω в точке . Найдите при условии, что угол равен Ответ: Решение
95. (Т/Р Ларина) Дана трапеция с основаниями и . Окружности, построенные на
боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках и .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.б) Найдите длину отрезка , если известно, что
96. (Т/Р Ларина) В параллелограмме точка – середина стороны . Отрезок пересекает диагональ в точке . .
а) Докажите, что отрезок перпендикулярен диагонали .
б) Найдите площадь параллелограмма, если см, см.
97. (Т/Р Ларина) В равнобедренной трапеции основание в два раза больше основания
а) Докажите, что высота трапеции разбивает основание на отрезки, один из
которых втрое больше другого.б) Пусть — точка пересечения диагоналей трапеции . Найдите расстояние от вершины до середины отрезка , если и . Ответ: Решение
98. (Т/Р Ларина) В треугольнике точка – середина .а) Докажите, что длина отрезка больше полуразности, но меньше полусуммы длин
сторон и .б) Окружность проходит через точки , , . Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой , если известно, что Ответ: Решение
99. (Т/Р Ларина) Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника . На луче отмечена точка так, что
а) Докажите, что существует точка , одинаково удаленная от точек б) Найдите расстояние от точки до точки , если известно, что и Ответ: Решение
100. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внутренним образом в точке . Пусть – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке .
а) Докажите, что – биссектриса угла .б) Найдите длину отрезка , если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно и , а угол равен
101. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке . Прямая
касается первой окружности в точке , а второй – в точке .а) Докажите что расстояние от точки до прямой равно .
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны соответственно и . Ответ: Решение
102. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность с центром в точке Радиус перпендикулярен радиусу а радиус перпендикулярен радиусу
б) Найдите площадь треугольника если длина перпендикуляра, опущенного из точки на равна а длина отрезка в два раза меньше длины отрезка
103. (Т/Р Ларина) Радиус вписанной в треугольник окружности равен Окружность радиуса касается вписанной в треугольник окружности в точке а также касается лучей, образующих угол Окружности касаются прямой в точках и
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите тангенс угла если площадь треугольника равна а наибольшей из его сторон является сторона Ответ:
104. (Т/Р 280 А. Ларина) В треугольнике провели высоты и . Окружность, описанная вокруг треугольника , где точка – середина стороны , пересекла прямую в точке .а) Докажите, что прямая касается окружности, описанной около треугольника .б) Найдите отношение площадей четырехугольника и треугольника , если , . Ответ: Видеорешение