Глава 3. Уравнения движения электропривода

Наиболее удобным методом составления уравнения движения механической части привода являются уравнения движения Лагранжа второго рода. При этом предполагается, что движение механической части исследуется в системе обобщенных координат, в качестве которых должны быть приняты независимые параметры, определяющие положения механизма. Такими параметрами являются углы поворота вращающихся вокруг неподвижных осей дискретных инерционных элементов и их линейные перемещения (рис. 3.1).

Рис. 3.1 Расчетные схемы механической части (а – для вращающихся элементов, б – для поступательно-движущихся элементов)

Уравнения Лагранжа второго рода

где – кинетическая энергия систем;

–потенциальная энергия системы;

–работа сил рассеяния (диссипативная функция Релея);

–обобщенная внешняя сила, соответствующая обобщенной координате.

При вращательном движении , ; при поступательном движении , , .

Число уравнений Лагранжа второго рода для системы равно числу дискретных инерционных элементов, т.е. числу степеней свободы механизма.

Для механической системы, содержащей инерционных и упругих элементов:

Моменты (силы), входящие в левую часть уравнения Лагранжа (1) и действующие на 1-й инерционный элемент системы, определяются как:

Для (для первой массы)

В соответствии с уравнением Лагранжа (1) для любого i-го звена может быть записано уравнение движения

где , – суммарный внешний момент (сила), действующий наi-е звено.

В тех случаях, когда момент инерции (масса) звена не зависит от его положения, , получим

где – угловое и линейное ускорение.

Диссипативные силы в упругих связях, обусловленные силами вязкого трения существенно меньше потенциальных сил, в связи с чем при исследовании законов движения электроприводов механизмов в первом приближении их можно не учитывать.

С учетом указанных допущений уравнения движения в случае трехмассовой системы имеют следующий вид

Для двухмассовой системы

С учетом, что момент упругой связи уравнения (3.19) запишутся в следующем виде

Для одномассовой абсолютно жесткой системы на основании (3.5) при можно записать уравнение движения

Глава 4. Механическая часть электропривода как объект управления

Двухмассовая упругая система (рис. 2.2, б) является основным объектом при инженерных исследованиях динамических процессов с учетом упругих связей, в которой коэффициентом пропорциональности учитывается момент внутреннего вязкого трения (диссипативные силы)

Структурная схема двухмассовой упругой Э.М.С. представлена на рис. 4.1, которая составлена на основании системы дифференциальных уравнений в операторном виде, где

Рис. 4.1. Структурная схема двухмассовой упругой Э. М. С.

В рассматриваемой структурной схеме управляющем воздействием является электромагнитный момент двигателя М, а возмущающими воздействиями – моменты сопротивлений . В качестве выходных координат можно рассматривать скорости , упругий момент и углы перемещения инерционных масс

Структурная схема двухмассовой системы электропривода (рис.4.1) позволяет получить передаточные функции по управляющему и возмущающим воздействиям для анализа поведения выходных координат , .

По управляющему воздействию при после структурных преобразований в схеме (рис.4.1) передаточная функция по выходной переменной определяется следующим образом (см. рис. 4.2)

Рис. 4.2. Преобразованная структурная схема по двухмассовой системы при

где – частота свободных колебаний двухмассовой упругой системы;

Передаточная функция по выходной переменной после структурных преобразований схемы (рис. 4.3) при определяется следующим образом

Рис. 4.3. Преобразованная структурная схема по двухмассовой системы при

Уравнение (4.5) представим в следующем виде

Тогда имеем структурную схему по выходной координате (см. рис. 4.4)

Рис. 4.4 Структурная схема по выходной координате

т.е. соответствует двум последовательно соединенным звеньям интегрирующего и колебательного.

Передаточная функция по выходной координате в соответствии со структурными преобразованиями в схеме рис. 4.1. при может быть определена следующим образом.

Рис. 4.5. Структурные преобразования для получения передаточной функции

Для схемы рис. 4.5, а передаточная функция

а для схемы рис.4.5, б передаточная функция

После соответствующих преобразований в формуле 4.10 получим

Как видно из полученных передаточных функций , , характеристическое уравнение системы (знаменатель в формулах 4.5, 4.6, 4.11), описывающее движение двухмассовой системы при

Поведение такой системы рассмотрим на примере приложения управляющего воздействия в виде электромагнитного момента М, изменяющегося во времени по гармоническому сигналу с переменной частотой . Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики такой системы, полученных при помощи (4.8), имеют вид

Анализ формул 4.14, 4.15 показывает, что при и амплитуды стремятся к бесконечности, а фаза при скачком изменяется на ( ). Зависимость , представлены на рис. 4.6, из которого следует, что при наступает механический резонанс, претерпевает разрыв, амплитуда колебаний возрастает до бесконечности.

Рис. 4.6 Амплитудно-частотная АЧX и фазовая частотная ФЧХ характеристики двухмассовой системы

В реальных механических системах происходит ограничение резонансных амплитуд колебаний силами, обуславливающими рассеяние энергии механических колебаний. К внешним силам относятся трение колеблющейся системы о среду, к внутренним – диссипативные силы в упругих элементах (силы вязкого трения).

Система уравнений, описывающая движение двухмассовой системы с учетом сил вязкого трения (коэффициент βв.т= β12 ) представлена в виде (4.2), структурная схема на рис. 4.1.

Произведя структурные преобразования схемы рис. 1.2, получим передаточную функцию по управляющему воздействию

то уравнение (4.16) запишется в виде

Корни характеристического равнения системы

Выражение (4.18) показывает, что силы вязкого терния вносят в систему затухание и двухмассовая упругая система приобретает свойства колебательного звена с коэффициентом затухания и частотой колебаний . Так как , .

Логарифмический декремент затухания , представляющий собой отношения двух последующих амплитуд колебаний (рис. 4.27), характеризует рассеяние энергии в упругом звене. Он может быть определен по известной величине действительной и мнимой части корней характеристического уравнения (4.18).

Рис. 4.7. К определению логарифмического декремента затухания

Исследование показывают, что естественное механическое демпфирование обеспечивает значение . При таких значениях , несмотря на ограничение амплитуд резонансных колебаний, резонансный пик остается по-прежнему большим и колебания в зоне резонанса увеличиваются в (10-30) раз.

Выражение АЧХ для двухмассовой системы с учетом демпфирования принимает вид

На рис. 4.8 приводятся зависимости резонансного коэффициента усиления системы от частоты, рассчитанные в соответствии с (4.20) для различных значений .

Рис. 4.8. Зависимости резонансного коэффициента усиления системы от частоты