Заглянем в мир формул. Решение уравнений 3-й степени. Формула Кардано.

В работе рассмотрены приёмы и методы решения кубических уравнений. Применение формулы Кардано для решения задач при подготовке к ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи

Донская Академия Наук Юных Исследователей

Секция: математики - алгебра и теория чисел

«Заглянем в мир формул»

по теме «Решение уравнений 3 степени»

Автор работы: ученица 11 «А» класса Симонян Альбина Левоновна МОУ СОШ №7

Руководитель: учитель математики Бабина Наталья Алексеевна

1. Введение …………………………………………………………………………….3
2. Основная часть…………………………………………………………………….4
3. Практическая часть……………………………………………………………10-13
4. Заключение………………………………………………………………………….14
5. Литература…………………………………………………………………………..15
6. Приложения

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении. Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений. А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно узнать, не попытались ли известные математики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

2. Основная часть:

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах ,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

Так у меня возникла идея создания проекта «Заглянем в мир формул…», основополагающими вопросами данного проекта стали:

1. установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;
2. в случае положительного ответа - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль. В поисках формулы решения кубических уравнений я решила действовать по знакомым алгоритмам решения квадратных уравнений. Например, решая уравнение х 3 + 2х 2 - 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а) 3 =х 3 + 3х 2 а +3а 2 х+а 3 . Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения, превратила в нем 2х 2 в 3х 2 а, т.е. искала такое а, чтобы было справедливо равенство 2х 2 = 3х 2 а . Нетрудно было вычислить, что а = . Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом: х 3 + 2х 2 -5х-6=0

(х 3 +3х 2 а+ 3х . + ) - 3х . - - 5х - 6= (х+) 3 - 6х - 6 Сделала подстановку у = х + , т.е. х = у - у 3 - 6(у - ) - 6=0; у 3 - 6у + 4- 6=0; Исходное уравнение приняло вид: у 3 - 6у - 2=0; Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя и исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного! Приблизилась ли я к цели? Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить полный куб так, чтобы исчез член – 5х? (х+а) 3 =х 3 +3х 2 а+ 3а 2 х + а 3 . Отыскала такое а, чтобы 3а 2 х = -5х ; т.е. чтобы а 2 = - Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства быть не может. Уравнение пока мне не удалось решить, я смогла его привести лишь к виду у 3 - 6у - 2=0.

Итак, итог проделанной мной работы на начальном этапе: смогла из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е. если дается каноническое уравнение ах 3 +вх 2 +сх+d, то его можно привести к неполному кубическому уравнению х 3 +рх+q=0. Далее, работая с разной справочной литературой, я смогла узнать, что уравнение вида х 3 +рх=q удалось решить итальянскому математику Даль Ферро (1465- 1526). Почему для такого вида, а не для вида х 3 +рх+q=0? Это потому что, тогда еще не были введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже. Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения. Рассуждал он так: корень квадратного уравнения есть - ± т.е. имеет вид: х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени. Каких - же именно? Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности - Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать так, чтобы =. Подставив вместо х разность - , а вместо р произведение получили: (- ) 3 +3 (- )=q. Раскрыли скобки: t - 3 +3- u+3- 3=q. После приведения подобных членов получили: t-u=q.

Получилась система уравнений:

t u = () 3 t-u=q. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и сложим первое и второе уравнения. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Из новой системы t+u=2 ; t -u=q имеем: t= + ; u= - . Подставив вместо х выражение - получили В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться. В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1). Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано. Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и переоткрыл Тарталья называют формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют карда новым движением. Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида х 3 +рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется, проблема решена. Есть формула для решения кубических уравнений.

Выражение, стоящее под корнем - дискриминант. D = () 2 + () 3 Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано: Моё уравнение имеет вид: у 3 - 6у - 2=0, где р= - 6=-; q = - 2 = - . Легко подсчитать, что () 3 = =- и () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = - . А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа! В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь при D Итак, в ходе работы над проектом встретилась с очередной проблемой. В чем же дело? Я стала составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие члена квадрата неизвестного:

1. составила уравнение, имеющее корень х= - 4.

х 3 +15х+124=0 И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила , можно ли получить этот корень по формуле Кардано х=+=+= =1- 5 =- 4

1. составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1: х 3 + 3х – 4 =0 и проверила формулу.

И в этом случае формула действовала безотказно.

1. подобрала уравнение х 3 +6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.

Решив данное уравнение, я получила этот корень х = - И тут- то у меня появилось предположение: формула срабатывала, если уравнение имело всего один корень. А моё уравнение, решение которого загнало меня в тупик, имело три корня! Вот где нужно искать причину! Теперь я взяла уравнение, имеющее три корня: 1; 2; -3. х 3 – 7х +6=0 p= -7; q = 6. Проверила дискриминант: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число. Я пришла к выводу: путь к трем корням уравнения х 3 +рх+q=0 ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

1. Теперь мне осталось узнать, с чем же я столкнусь в случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня: х 3 – 12 х + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Теперь можно было сделать вывод, что число корней кубического уравнения вида х 3 +рх+q=0 зависит от знака дискриминанта D=() 2 +() 3 следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

Подтверждение моего вывода я нашла в справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн. Итак, мой вывод : формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный. Мне удалось установить, что существует формула для поиска корней кубического уравнения, но для вида х 3 +рх+q=0.