9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

Определение вектора, равных векторов, коллинеарных векторов

Для этого сна­ча­ла вве­дем по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров. Кол­ли­не­ар­ны­ми на­зы­ва­ют­ся век­то­ры, ко­то­рые лежат либо на одной пря­мой, либо на па­рал­лель­ных пря­мых (рис. 2).

Итак, когда век­то­ры рав­ные? Тогда, когда они кол­ли­не­ар­ны, со­на­прав­ле­ны и их длины равны.

Что озна­ча­ет, что век­тор ? Это озна­ча­ет, что их длины равны |и они со­на­прав­ле­ны (рис. 3).

Мы вспом­ни­ли, что такое век­тор, что такое рав­ные век­то­ры. С век­то­ра­ми без ко­ор­ди­нат мы умеем про­из­во­дить неко­то­рые вы­чис­ле­ния, на­при­мер скла­ды­вать, вы­чи­тать век­то­ры, умно­жать век­тор на число.

Действия с векторами

Пред­по­ло­жим, дан век­тор и век­тор : (рис. 4)

Рис. 4. Век­то­ры а и b

Что на­зы­ва­ет­ся сум­мой век­то­ров? От­кла­ды­ва­ем оба век­то­ра от одной точки, на этих век­то­рах стро­им па­рал­ле­ло­грамм, и диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся сум­мой этих век­то­ров.

Вспом­ним пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка: от­кла­ды­ва­ем век­тор и от его конца от­кла­ды­ва­ем век­тор . Тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка – это век­тор , ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся сум­мой двух век­то­ров + (рис. 6)

Рис. 6. Сумма двух век­то­ров

Те­перь вспом­ним умно­же­ние век­то­ра на число. Пред­по­ло­жим, у нас есть век­тор и нам нужно по­стро­ить век­тор 2 .Для этого нужно взять век­тор и уве­ли­чить его длину в 2 раза (рис. 7).

Таким об­ра­зом, век­тор можно рас­тя­нуть в 2 раза, сжать в 2 раза путем его умно­же­ния на неко­то­рое число.

Координаты вектора

Вве­дем по­ня­тие ко­ор­ди­нат век­то­ра. Пред­по­ло­жим, что у нас есть пря­мая и на этой пря­мой есть век­тор , тогда любой дру­гой век­тор , ко­то­рый рас­по­ло­жен на этой пря­мой или на па­рал­лель­ной пря­мой, од­но­знач­но вы­ра­жа­ет­ся через век­тор (рис. 8).

Рис. 8. Вы­ра­же­ние век­то­ра b через век­тор а.

Век­тор равен век­то­ру , умно­жен­но­му на неко­то­рое число k. Век­тор возь­мем за еди­нич­ный век­тор, век­тор , ко­то­рый кол­ли­не­а­рен век­то­ру од­но­знач­но вы­ра­жа­ет­ся через век­тор с по­мо­щью неко­то­ро­го числа k, . Сле­до­ва­тель­но, век­тор равен век­то­ру , умно­жен­но­му на неко­то­рое число k.

Те­перь возь­мем на плос­ко­сти два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра (век­тор и век­тор ). Век­то­ры некол­ли­не­ар­ные, зна­чит, можно с их по­мо­щью вы­ра­зить любой тре­тий век­тор. Что это озна­ча­ет? Возь­мем век­тор . Век­тор можно од­но­знач­но раз­ло­жить по век­то­рам и . От­ме­тим про­из­воль­ную точку О и от­ло­жим от нее век­то­ры . Через точку Р про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой ОВ, обо­зна­чим через ОА1 точку пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с пря­мой ОА (рис. 9).

При­ме­ним пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка, ко­то­рое мы рас­смот­ре­ли ранее. По этому пра­ви­лу кол­ли­не­а­рен , зна­чит, су­ще­ству­ет число х такое, что = х . кол­ли­не­а­рен , зна­чит, су­ще­ству­ет число у такое, что , сле­до­ва­тель­но

Это озна­ча­ет, что век­тор раз­ла­га­ет­ся с по­мо­щью чисел х, у по век­то­рам и . Эти числа на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра при его раз­ло­же­нии по век­то­рам и .

До­ка­жем, что это раз­ло­же­ние век­то­ра ЕДИН­СТВЕН­НО. Пред­по­ло­жим про­тив­ное, что су­ще­ству­ет дру­гая пара чисел , таких, что = +y' .

Это ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся толь­ко в том слу­чае, когда . До­ка­жем это ме­то­дом от про­тив­но­го:

Так как раз­ность не равна нулю, на нее можно раз­де­лить обе части ра­вен­ства:

= , зна­чит век­то­ры и кол­ли­не­ар­ные ( || ). Но это про­ти­во­ре­чит усло­вию. Зна­чит, ко­ор­ди­на­ты не могут быть раз­ны­ми и раз­ло­же­ние един­ствен­но.

Итак, еще раз по­вто­рим тео­ре­му:

Любой век­тор од­но­знач­но раз­ла­га­ет­ся по некол­ли­не­ар­ным век­то­рам и . Раз­ло­же­ние век­то­ра един­ствен­но, это озна­ча­ет, что су­ще­ству­ет един­ствен­ная пара чисел х и у таких, что . Эти числа и на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра при раз­ло­же­нии по век­то­рам .

Координаты вектора в прямоугольной системе координат

Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат: xOy. Вве­дем еди­нич­ный век­тор , ко­то­рый рас­по­ло­жен на оси х и еди­нич­ный век­тор на оси у. Эти век­то­ры некол­ли­не­ар­ные, они пер­пен­ди­ку­ляр­ные, зна­чит, любой век­тор од­но­знач­но раз­ла­га­ет­ся по этим некол­ли­не­ар­ным век­то­рам (рис. 10).

Решение задач

Рас­смот­рим неко­то­рые из этих задач:

Чтобы по­стро­ить век­тор , от­кла­ды­ва­ем 2 еди­ни­цы впра­во по оси х и 0 еди­ниц по оси у, по­лу­ча­ем век­тор .

Чтоб по­стро­ить век­тор от­кла­ды­ва­ем 3 еди­ни­цы влево по оси х и 1 еди­ни­цу вниз по оси у, по­лу­ча­ем век­тор .

Ана­ло­гич­но стро­им век­тор : от­кла­ды­ва­ем 2 еди­ни­цы впра­во по оси х и 4 еди­ни­цы вверх по оси у, по­лу­ча­ем век­тор (рис. 11).