8.2. Лежат ли прямые ab и cd в одной плоскости? Если да, то найдите угол между ними. Если нет, то определите кратчайшее расстояние между ними.
Если прямые AB и CD лежат в одной плоскости, то и эти четыре точки лежать в одной плоскости, следовательно, любые три вектора образованные этими точками тоже лежат в одной плоскости.
Проверим, лежат ли вектора в одной плоскости.
Следовательно, прямые не лежат в одной плоскости
Н айдём расстояние между ними, иллюстрация ниже поможет понять ход решение.
Составим уравнение плоскости P, параллельной двум прямым и которая проходит через одну из них, например через АВ. Тогда расстояние от любой точки прямой CD до плоскости P и будет искомым расстоянием между прямыми.
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку A и параллельной векторам и .
Найдём расстояние от плоскости до точки, принадлежащей прямой ВС, например С.
8.3. Найти точку d1, симметричную точек d относительно прямой, проходящей через точки a и b. Чему равно расстояние от точки d до указанной прямой.
1 ) Составим параметрические уравнения прямой АВ.
Точка F лежит на прямой АВ, это значит, что при определённом параметре t мы получим координаты этой точки.
2) Так как то их скалярное произведение равно нулю.
Решив это уравнение получим , тогда
Если бы нам было известно две крайние точки, то среднюю мы бы находили как среднее арифметическое. У нас же задача обратная: есть крайняя и средняя точки, нужно найти вторую крайнюю.
И найдём расстояние от D до прямой АВ, как длину вектора
8.4. Найти точку пересечения двух прямых и прямой l1 с плоскостью p.
A = (5, -1, 0), B = (-2, 7, 1), C = (1, 1, -2), D = (12, -15, -7)
Составим параметрические уравнения прямых:
В точке пересечения прямых, координаты точек равны.
Мы получили систему с двумя неизвестными и тремя уравнениями. Решив её, получим:
Подставляя значения t1 и t2 в канонические уравнения прямых, соответственно мы получим координаты точки пересечения.
Найдём пересечение прямой и плоскости. Воспользуемся параметрическими уравнениями прямой и подставим правые части в уравнение плоскости.
Решим данное уравнение
Подставим полученное число в систему параметрических уравнений.
Прямая на плоскости
Немного теории
Каноническое уравнение прямой
Параметрические уравнения прямой
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
k – тангенс угла к оси OX
y – смещение вверх по оси OY
Даны вершины некоторого треугольника A, B, C. Требуется найти:
9.1 периметр треугольника.
Периметр треугольника – это сумма всех сторон, - это сумма модулей векторов. Модуль векторов на плоскости находится аналогично, как и в пространстве.
9.2 уравнение и длину высоты, проведённой через вершину С.
Составим уравнение прямой AC.
Составим уравнение прямой CD: через точку C и нормалью AB.
Найдём точку D, как пересечение прямых AC и BD.
Найдём координаты вектора BD и его длину.
9 .3 уравнение медианы, проведённой из вершины В.
Медиана CD, проходит через среднюю точку отрезка АВ.
Составим уравнение прямой по точкам CD.
9 .4 точку пересечения высот треугольника
Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Значит достаточно найти вторую высоту, например из точки А, и найти точку пересечения, с уже полученной высотой.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой ВС.
Высоту, проведённую из вершины С, мы ранее получили.
Найдём точку пересечения высот
9 .5 точку пересечения медиан треугольника
Медианы также как и высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Найдем медиану, проходящую через вершину А.
Медиана, проведённая из вершины С, нам уже известна.
9.6 внутренний угол в радианах
Углы между векторами на плоскости находятся также как и в пространстве.
Найдем углы между векторами.
Примечание. Можно проверить правильность решения, сложив все углы. Если получится , значит, решение верно.
9.7 уравнение прямой, проходящей через вершину В под углом к стороне ВС
Угол между прямыми можно измерять по угловым коэффициентам этих прямых.
Угол в данной формуле находится в сторону, против часовой стрелки, от прямой с коэффициентом k1 к прямой с коэффициентом k2. Заданный угол имеет положительное направление, поэтому искомый коэффициент k2.
Найдём угловой коэффициент прямой BC.
По коэффициенту числителя составим сонаправленный вектор
Составим уравнение требуемой прямой, проходящей через точку В.
9.8 точку P, симметричную точке С относительно прямой АВ.
Составим уравнение прямой L1 проходящей через точку C и перпендикулярной
Составим уравнение прямой АВ.
Найдём точку пересечения этих прямых
Точка Е является средней на отрезке СР, найдем Р по Е и С.
9.9 площадь треугольника, образованного осями координат и прямой АС.
Составим уравнение прямой АС
Найдем точки пересечения прямой с осями координат
Если перемножить эти координаты, то получим площадь прямоугольника. Площадь же треугольника в два раза меньше.
Кривые второго порядка
Немного теории
Общий вид кривой второго порядка
Далее, приводится неформальное описание параметров
A – «сплюснутость» по оси OX
B – поворот относительно центра
C – «сплюснутость» по оси OY
D – смещение по оси OX
E – смещение по оси OX
F – общий размер
Примечание. Не стоит буквально понимать описание коэффициентов. Изменение одного из коэффициентов влияет на несколько характеристик. Изменение коэффициентов смещения и вращения влечет к изменению размеров или даже к изменению типа кривой. Однако, если будет В=0, то кривая не будет повёрнута, а если D = 0 и E = 0 то её центр не будет смещен относительно начала координат. Далее, во всех уравнениях. для простоты, коэффициент В принимается равным нулю.