аналитическая геометрия, теория, 1курс / Линии второго порядка
Где (a;b)- координаты её центра, (рис. 31). Уравнение (3.2) называется каноническим уравнением окружности. В частности, если a=0; b=0 (т.е. центр окружности совпадает с началом координат ), то уравнение (3.2) имеет вид
x 2 + y 2 =R 2 . (3.3)
Общее уравнение второй степени (3.1) определяет окружность , если A=C0 и B=0.
4.3.1. Найти координаты центра и радиус окружности :
x 2 +y 2 -4x+8y-16=0;
выделяя полные квадраты в левой части данного уравнения , приведём его к виду (3.2):
x 2 -4x+4-4+y 2 +8y+16-16-16=0,
т.е. (x-2) 2 +(y+4) 2 =6 2 . Центр окружности находится в точке (2;-4), а радиус равен 6.
4.3.3. Написать уравнения касательных к окружности точк4.3.3. Написать уравнения касательных к окружности точки
x 2 +y 2 -6x+4y-12=0, проведённых из точки М(0;3).
Уравнения касательных будем искать в виде уравнения прямых с угловыми коэффициентами : y=kx+3. Уравнение окружности приведём к каноническому виду (3.2) : (x-3) 2 +(y+2) 2 =25. Для нахождения общих точек прямой и окружности решим систему уравнений
Имеем (x-3) 2 +(kx+3+2) 2 =25, т. е. x 2 -6x+9+k 2 x 2 +10kx+25=25, поэтому (k 2 +1)x 2 +(10k-6)x+9=0. Так как прямая касается окружности , то это уравнение имеет единственное решение .Следовательно , его дискриминант равен нулю ,т.е. (5k-3) 2 -9(k 2 +1)=0, или 16k 2 -30k=0, откуда k1=0 , k2= . Значит , y=3 и y= x+3-искомые уравнения.
4.3.7. Написать уравнение окружности ,проходящей через точки: (-1;3), (0;2), (-1;1) .
Уравнение окружности ищем в виде (3.2) :
(x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2 .
Подставляя в это уравнение координаты точек , получим три уравнения для определения a,b и d,:
Из первых двух уравнений получаем (-1-a) 2 +(3-b) 2 =a 2 +(2-b) 2 , т.е. 1+2a+a 2 +9-6b+b 2 =a2+4b+b 2 , поэтому a-b=-3; из второго и третий уравнений системы получаем a 2 +(2-b) 2 =(1-a) 2 +(-1-b) 2 , отсюда a-3b=-1. Решая систему уравнений
Находим a=-4, b=-1. Подставляя эти значения a и b во второе уравнение первоначальной системы , находим : 16+9=R 2 , т.е. К 2 =25. Искомое уравнение есть (x+4) 2 +(y+1) 2= 25.
Заметим, что уравнение окружности можно искать в виде x 2 +y 2 +2Dx+2ey+F=0. Так как данные три точки принадлежат окружности , то подставив их координаты в записанное уравнение, получим систему трёх уравнений:
Решив систему найдём , D=4, E=1,F=-8 и искомое уравнение окружности
x 2 +y 2 +8x+2y-8=0
Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости , сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости , называемых фокусами , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса:
+ = 1, (3.4)
Где a – большая полуось, b – малая полуось эллипса. Координаты фокусов : F1(-c;0), F2(c;0), где c – половина расстояния между фокусами (рис. 32). Числа a, b и c связаны соотношением
c 2 =a 2 - b 2 (3.5)
Точки A, B, C и D – называются вершинами эллипса, точка О – центром эллипса, расстояние r1 и r2 от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с ( расстояние между фокусами ) к большой оси 2а:
= ( < 1, т. к. c < a). (3.6)
Фокальные радиусы определяются формулами:
r1=a+ x, r2=a – x (r1+r2=2a). (3.7)
Директрисами эллипса называются прямые l1 и l2 параллельные малой оси эллипса и отстоящие от не на расстоянии , равном ; уравнения директрис:
x= и x=- (3.8)
Замечания. 1) Если a=b , то уравнение (3.4) определяет окружность x 2 +y 2 =a 2 ;
2) если фокусы эллипса лежат на оси Oy , то эллипс имеет вид , изображенный на рисунке 33: В этом случае :
b>a, c 2 =b 2 -a 2 , (3.9)
= , (3.10)
Уравнения директрис y= ;
3) уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, имеет вид
+ =1, (3.11)
Где (x0;y0) – координаты центра эллипса (рис. 34) ;
4) уравнения
Являются параметрическими уравнениями эллипса.
4.3.27 Показать , что уравнение 4x 2 +3y 2 -8x+12y-32=0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.
Преобразуем данное уравнение кривой. Так как
4x 2 +3y 2 -8x+12-32=4(x 2 -2x)+3(y 2 +4y)-32=4(x 2 -2x+1-1)+3(y 2 +4y+4-4)-32=
4(x-1) 2 -4+3(y+2) 2 -12-32,
То уравнение можно переписать в виде 4(x-1) 2 +3(y+2) 2 =48, т. е.
+ =1. Получили уравнение вида (3.11); его центр симметрии имеет координаты (1;-2). Из уравнения находим : a 2 =12, a=2 и b 2 =16, b=4 (b>0). Поэтому c= = =2. Эксцентриситет эллипса = .
4.3.28. Дано уравнение эллипса 24x 2 +49y 2 =1176. Найти :
1) длины его полуосей;
2)координаты фокусов;
3) эксцентриситет эллипса;
4) уравнения директрис и расстояние между ними;
5) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F1=12.
Запишем уравнение эллипса в виде (3.4), разделив обе части на 1176:
Отсюда a 2 =49, b 2 =24, т. е. a=7, b=2 .
Используя соотношение (3.5) , находим c 2 =72-(2 ) 2 =25, c=5. Следовательно , F1(-5;0) и F2(5;0).
По формуле (3.6) находим : = .
Уравнения директрис (3.8) имеет вид x= т. е. x= и x=- ; расстояние между ними d= -(- ) = =19.6.
По формуле r1=a+ x находим абсциссу точек , расстояние от которых до точки F1 равно 12: 12=7+ , т. е. x=7.
Подставляя значения x в уравнение эллипса, найдём ординаты этих точек :24 49+49y 2 =1176, 49y 2 = 0, y=0. Условию задачи удовлетворяет точка А(7;0).
4.3.31. Составить уравнение эллипса , проходящего через точки
М1(2;-4 и М2(-1;2
Уравнение эллипса ищем в виде (3.4)
Так как эллипс проходит через точки М1 и М2 , то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса : + =1 и + =1. Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым , находим - =-3, т. е. b 2 =64. Подставляя найденное значение b 2 в первое уравнение, получаем + =1, откуда a 2 =16. Таким образом, искомое уравнение эллипса есть + =1.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Oy, а малая ось равна 2 . Каждый из фокусов равноудалён от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси. Уравнение эллипса имеет вид + =1, b>a. По условию задачи 2a=2 , т. е. a= , и с= . Так как c 2 =b 2 -a 2 (3.9), то получаем: =b 2 -3 , т.е. b 2 =4. Таким образом, уравнение эллипса есть + =1.
Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы:
+ =1, (3.12)
Где а – действительная, b – мнимая полуось гиперболы. Числа 2a и 2b называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов : F1(-c;0), F2(c;0), c- половина расстояния между фокусами (рис.35). Числа a, b и c, связаны соотношением
с 2 =a 2 +b 2 (3.13)
Точки А и В называются вершинами2гиперболы, точка О – центром гиперболы, расстояния r1 и r2 от произвольной точки М гиперболы до её фокусов называются фокальными радиусами этой точки .
Число = ( >1, т. к. с >a). (3.14)
Называется эксцентриситетом гиперболы.
Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ветви гиперболы:
r1=a+ x, r2=-a+ x; (3.15)
для точек левой ветви:
r1=-a- x, r2=a- x. (3.16)
Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями
y= x. (3.17)
Две прямые l1 и l2 параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии, равном , называются директрисами гиперболы.
Их уравнения
x= и x= (3.18)
Замечания. 1) Если a=b, то гипербола (3.12) называется равносторонней (равнобочной). Её уравнение принимает вид
x 2 -y 2 =a 2 (3.19)
2) если фокусы гиперболы лежат на оси Oy, то уравнение гиперболы имеет вид
– =1. (3.20)
Эксцентриситет этой гиперболы равен = , асимптоты определяются уравнениями y= x, а уравнение директрис y= . Гипербола называется сопряжённой гиперболе(3.12) ; она имеет вид , изображенный на рисунке 36.
3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид
– =1 (3.21)
Где (x0; y0)- координаты центра гиперболы (рис. 37.)
4.3.60. Дано уравнение гиперболы 5x 2 -4y 2 =20. Найти :
1) длины его полуосей;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситет гиперболы;
4) уравнение асимптот и директрис;
5) фокальные радиусы точки М(3;2.5).
Решение: разделив обе части уравнения на 20, приведём уравнение гиперболы к каноническому виду (3.12):
– =1.
a 2 =4, b 2 =5, т. е. a=2, b= ;
Используя соотношение (3.13) , находим с 2 =4+5, т. е. c=3. Отсюда находим фокусы гиперболы:F1(-3;0) и F2(3;0);
По формуле (3.14) находим = ;
Уравнения асимптот и директрис найдём по формулам (3.17) и (3.18) : y= x и x= ;
Точка М лежит на правой ветви гиперболы (x=3>0), воспользуемся формулами (3.15) : r1=2 + 3=6.5, r2=- 2 + 3=2.5.
4.3.67. Найти угол между асимптотами гиперболы, если её эксцентриситет равен 2.
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид y= = x. Найдём отношение , воспользовавшись формулами (3.13) и (3.14) и условием = = = . Отсюда 2 = 2 -1, т. е. = . Имеем: = = .
Стало быть, уравнения асимптот гиперболы есть y = x и y = - x. Угол между асимптотами найдём по формуле
tg = = = , = 60 0 .
Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости , называемой фокусом , и заданной прямой , называемой директрисой .
Каноническое уравнение параболы имеет вид
y 2 = 2px, (3.22)
где число p>0 , равное расстояние от фокуса F до директрисы l, называется параметром параболы. Координаты фокуса F( ; 0). Точка О(0;0) называется вершиной параболы, длина r отрезка FM –фокальный радиус точки М, ось Ox – ось симметрии параболы.
Уравнение директрисы l параболы имеет вид
x= - ; (3.23)
фокальный радиус вычисляется по формуле
r= x+ . (3.24)
В прямоугольной системе координат парабола, заданная каноническим уравнением (3.22), расположена так, как указано на рисунке 39.
Замечания. 1) Парабола, симметричная относительно оси Oy и проходящая через начало координат (рис. 40), имеет уравнение
x2 = 2py. (3.25)
Фокусом параболы (3.25) является точка
F(0 ; ). (3.26)
Уравнение директрисы этой параболы
y = - (3.27)
Фокальный радиус точки М параболы
r = y + . (3.28)
2) На рисунках 41 и 42 изображены графики парабол y 2 = -2px и x 2 = -2py
Соответственно.
3) На рисунках 43-46 приведены уравнения и графики парабол с осями симметрии, параллельными координатным осям.
Дана парабола x 2 = 4y. Найти координаты её фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки М(4;4).
Парабола задана каноническим уравнением (3.25). Следовательно , 2p=4, p=2. Используя формулы (3.26) ,(3.27) , (3.28) находим , что фокус имеет координаты (0;1) , т. е. F(0;1); уравнение директрисы есть y=-1; фокальный радиус точки М(4;4) равен r = 4+1=5.
4.3.106. Найти вершину, фокус и директрису параболы y = -2x 2 +8x-5, построить эскиз графика.
Преобразуем уравнение y = -2x 2 +8x-5 , выделив полный квадрат:
y = -2(x 2 +4x - ) = -2(x 2 - 4x + 4 – 4 + )= - 2((x-2) 2 - ) = -2(x-2) 2 + 3, т. е. y=-2(x-2) 2 + 3, или (x-2) 2 = - (y-3). Уравнение параболы имеет вид, как на рис.46. Вершина параболы имеет координаты (2;3); 2p = , p = . Прямая x = 2 является осью симметрии параболы. Координаты фокуса x=2, y=3 - = 2 , т. е. F(2; 2 ) . Уравнение директрисы y = 3 + = 3 + , т. е. y = 3 . График изображён на рис. 47.