Математическая модель жидкостного тахометра на Python

В технике явление формирования поверхности вращающейся жидкости в форме близкой к поверхности параболоида вращения используется в основном в сепарирующих центрифугах для разделения суспензий на фракции [1].

Меня заинтересовал так называемый жидкостной тахометр. Принцип работы прибора состоит в контроле за уровнем верхней кромки жидкости во вращающемся цилиндрическом стакане. Уровень жидкости зависит от скорости вращения стакана и может контролироваться простой оптической следящей системой.

Рассмотрение математической модели такого прибора имеет не только познавательный, но и практический интерес с учётом её реализации средствами свободно распространяемого языка общего назначения Python.

Вектора сил, действующих на частицу жидкости во вращающемся цилиндрическом стакане приведены на следующем рисунке.

Рассмотрим сечение поверхности вращения координатной плоскостью ZX и найдём касательную в точке P (x, z) этого сечения. На частицу Q находящуюся в точке P действует сила тяжести mg изображённая в виде вектора PL.

Давление жидкости изображено в виде вектора PN направленного нормально к поверхности жидкости. Силы PM и PM’ для установившегося движения равны. Частица жидкости движется по окружности радиуса x её ускорение PM направлено к центру вращения и равно m*w**2 *x.

В приведенных формулах w, m, g – угловая частота, масса и ускорение свободного падения. В прямоугольном треугольнике NMP угол при вершине N равен производной dz/dx (при написании формул будем использовать синтаксис Python).

dz/dx=MP/NP= m*w**2 *x/mg= w**2 *x/g (1)

Интегрируя (1) получим уравнение для поверхности жидкости в сечении ZX. Для интегрирования (1) воспользуемся символьным вычислением неопределённого интеграла при помощи модуля SymPy:

Под “знаком” неопределённого интеграла integrate(f(x), x)– функция f(x)=w**2*x/g от переменной x. Остальные части равенства включая постоянную интегрирования C просто дописаны как строковые переменные.

Постоянную интегрирования С определим подставив в (2) – x=0 и z=z0, получим C=z0. На верхней кромке вращающейся жидкости x=R, где R- радиус цилиндра, перепишем (2) в виде:

В неподвижном состоянии уровень жидкости равен H, а её объём V=pi*R**2*H. Когда жидкость начинает вращаться и после того как движение становиться установившемся объём жидкости не меняется, и он будет равен объёму, отсчитанному от верхней кромки жидкости – pi*R**2*z1 минус объём, занимаемый параболоидом вращения.

Этот объём равен произведению числа pi на определённый интеграл в пределах от z0 до z1 от соотношения x**2=2*g(z-z0)/w**2, полученного из (3) обратной подстановкой x=R.

Воспользуемся символьным вычислением определённого интеграла при помощи модуля SymPy:

Под “знаком” определённого интеграла integrate(f(z), (z, z0, z1))– функция f(z)= (2*g*(z-z0)/w**2 и кортеж – (z, z0, z1) с переменной z и пределами интегрирования–z0, z1. Функция simplify для упрощения выражения, а factor для сбора в полный квадрат. Остальные части равенства просто дописаны как строковые переменные.

pi*R**2*H=pi*R**2*z1 -pi* g*(z0 — z1)**2/w**2 (4)

После подстановки (3) в (4) получим: H= (z1+z0)/2 (5) Решив (3) относительно круговой частоты вращения w и исключив с учётом (5) переменную z0 получим уравнение теоретической характеристики водного тахометра: w=2*sqrt (g*(z1-H))/R (6)

Соотношение (6) показывает только характер зависимости, реальную характеристику получают при градуировке.

Проймем R=0,11 м., H=0,09, построим теоретическую характеристику жидкостного тахометра для диапазона z1=0,1÷0,16.

Использование функции mpmath упрощает визуализацию числовых данных.

Поверхность вращающейся жидкости можно описать параболоидом вращения. В общем случае — это эллиптический параболоид. Он определяется следующей зависимостью координат точек поверхности от двух параметров u и v:

x = a* u* cos v, y = b* u *cos v, z=0.5*u**2

В нашем случае жидкость находится в цилиндрическом стакане, поэтому a=b.

Поверхность цилиндра определяется следующей зависимостью координат точек поверхности от двух параметров u и v: x = a* cos v, y =a*sin v, z = u

Разместим параболоид вращения в цилиндре, так чтобы верхняя кромка цилиндра совпадала с кромкой параболоида. При этом с ростом частоты вращения цилиндра уровень верхней кромки жидкости поднимается. Рассмотрим работу жидкостного тахометра. Введём коэффициент K, как характеристику скорости вращения жидкости, в следующую программу.

Для соединения цилиндра и параболоида вращения использованы следующие строки программы по переопределению координаты цилиндра Z по координате параболоида z:

Кроме коэффициента K модель позволяет установить необходимый радиус цилиндра R и уровень жидкости в цилиндре H.

Полученная математическая модель может найти применение не только при проектировании жидкостного тахометра, но и при разработке автоматического дозатора поскольку объём жидкости, вытесняемый параболоидом вращения может сливаться через отверстия в цилиндре. Кроме того, использование Python расширит область использования математической модели.