Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий - АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверяется домашнее задание. Учитель отвечает на вопросы учащихся по домашней работе.

Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.

Двое учащихся (I уровень) и двое учащихся (II уровень) работают по карточкам индивидуального опроса.

Карточка 1 (I уровень)

1. В пересекающихся плоскостях α и β взяты соответственно точки А и В, которые не лежат на линии их пересечения (прямой с). Точка М лежит на прямой с.

1) Построить линию пересечения плоскостей: а) α и МАВ; б) β и МАВ.

2) Найти общую точку плоскостей α, β и АMB.

2. Запишите символически н выполните рисунок: Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, a прямая CD лежит в плоскости α.

Карточка 1 (II уровень)

1. Через сторону АВ ромба ABCD проведена плоскость α. Точки Е, F - середина стороны AD и DC.

1) Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью α.

2) Вычислите расстояние от этой точки до точек А и В, если ВС = 12 см. (Ответ: 6 см и 18 см.)

2. Выполните рисунок: α ≠ β α ∩ β = а, М ∈ а, АВ ⊂ β.

Остальные учащиеся работают по готовому чертежу и отвечают на вопросы (фронтальная работа).

2. Устная работа.

а) Дан куб ABCDA1B1C1D1.

Найдите: 1) несколько точек, которые лежат в плоскости α; 2) несколько точек, которые не лежат в плоскости α; 3) несколько прямых, которые лежат в плоскости α; 4) несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; 5) несколько прямых, которые пересекают прямую ВС; 6) несколько прямых, которые не пересекаются прямую ВС.

б) Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение: 1) если А ∈ α, а ⊂ α, то А. α (пересекает); 2) если A ∈ α; В ∉ α, то АВ. α (принадлежит); 3) если А ∈ α; B ∈ α; С ∈ АВ, то С. α (принадлежит); 4) если М ∈ α; М ∈ β, α ⊂ β = а, то М. а (принадлежит).

Заслушиваются ответы учащихся у доски.

III. Решение задач

Дано: a ∩ b = M, c ∩ a = A, c ∩ b = B, M ∉ с.

Доказать: 1. а ⊂ α; b ∩ α; с ⊂ α; 2. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M.

Решение: 1. Согласно второму следствию, пересекающиеся прямые а и b принадлежат плоскости α, следовательно, по аксиоме А2 прямая с лежит в плоскости α; (аксиома А2).

2. Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. Проиллюстрировать это утверждение на примере куба (см. рис. 1). АА1, АВ, AD проходят через точку А, но очевидно, не лежат в одной плоскости.

Решение: 1. Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае, по следствию 2 можно провести плоскости, и через три прямые проходит одна плоскость (рис. 2).

2. Одна из трех прямых (с) не лежит в плоскости α, определяемой другими прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с (см. рис. 3).

Решение: а) Аналогично задаче № 7 - решить самостоятельно.

Взять выборочно тетради на проверку (рис. 4).

б) Нет (см. рис. 4). Если ABC ⊂ α; b ∩ α = В, b ⊄ α.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 5). Точка М лежит на ребре ВВ1, точка N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре DD1.

а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; точка N.

б) Найдите точку F - точку пересечения прямых MN и ВС. Каким свойством обладает точка F?

в) Найдите точку пересечения прямой KN и плоскости ABC.

г) Найдите линию пересечения плоскостей MNK и ABC.

Решение: При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики. При решении данной задачи применяются аксиомы А2 и А3.

а) Докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и BD пересекаются (рис. 9).

б) Вычислите площадь четырехугольника, если AC ⊥ BD, АС = 10 см, CD = 12 см.

а) Согласно второму следствию из аксиом, пересекающиеся прямые АС и BD определяют некоторую плоскость α. Прямая АС лежит в плоскости α, следовательно, все точки, в том числе А и С, принадлежат этой плоскости. Аналогично доказывается, что точки B и D принадлежат плоскости α (рис. 9).

б) Воспользуемся формулой где d1 и d2 - диагонали четырехугольника, а α - угол между ними.

IV. Подведение итогов

2. Решение задач:

1 уровень - № 9, 13.

Дана треугольная призма АВСА1В1С1. М ∈ АВ. Построить точку пересечения прямой А1М с плоскостью ВВ1С1.

II уровень - № 11, 15.

Начертите изображение куба ABCDA1B1C1D1, выберете точки М и N грани ABCD. Построение линии пересечения плоскостей ABC и A1MN; B1MN и ВСС1.

Дано: ABCD - параллелограмм (рис. 10). AC ∩ BD = т. О, О ∈ а, А ∈ а, В ∈ а..

Доказать: D ∈ α, С ∈ α.

Решение: Так как А и В принадлежат α, то по аксиоме А2, прямая АВ и О принадлежит плоскости α, то АО ⊂ α, С ∈ АО, значит точка С ∈ α. Аналогично для точки D.

Дано: a) A ∈ a, b ∩ а = О, А ∈ b (рис. 11).

1. По первому следствию из аксиомы получаем, что прямая а и точка А определяют плоскости α.

2. Возьмем любую прямую (b), которая пересекается с прямой (а) и проходит через точку А. Тогда a ∩ b = O и O ∈ α, значит, О ∈ а. По аксиоме А2: b ⊂ α.

3. Аналогично все прямые, проходящие через точку А и пересекающие прямую а, лежат в плоскости α.

а) Нет, так как если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют общую прямую (по аксиоме А3).