В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между

Перед вами очередная статья с параллелепипедами. Представленные задания просты, вычислений никаких нет или их минимум. Рассматриваются кубы и прямоугольные параллелепипеды. Важно грамотно выполнить построения и знать элементарные свойства. Например, в данных заданиях используются:

1. В равностороннем треугольнике все его углы равны 60 градусам. 2. Диагонали граней куба равны. 3. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 4. Необходимо понимание понятия — скрещивающиеся прямые .

Напомню какая призма является правильной.

Правильная призма – это призма основания которой - правильные многоугольники , боковые рёбра расположены под прямым углом к основаниям. Например, п равильная треугольная призма – это прямая призма, основания которой равносторонние треугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это прямая призма, основания которой являются квадратами. Понятно, что такая призма является прямоугольным параллелепипедом.

Правильная шестиугольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными шестиугольниками. Рассмотрим задачи:

315130. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АA1, точка L — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1D1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.

Построим куб, обозначим его вершины и точки K, M и L.

Так как данные точки являются серединами ребёр, то отрезки KM, ML, KL будут равны между собой. Это означает, что треугольник KML равносторонний. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов. Таким образом, угол MLK равен 60 0 .

316554. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АD1 и B1D1. Ответ дайте в градусах.

Построим куб, обозначим вершины и данные отрезки, также построим отрезок АВ1.

Отрезки АD1, B1D1 и АD1 являются диагоналями граней куба, то есть все они равны, значит треугольник АD1B1 является равносторонним. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов.

Таким образом, угол между прямыми АD1 и B1D1 равен 60 0 .

318474. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB = 8, AD = 6, AA1 = 21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.

Построим отрезки CD и A1C1:

В данной задаче имеем скрещивающиеся прямые, то есть сами они не имеют общей точки пересечения. Но этот угол между скрещивающимся прямыми определяется. Как?

Простыми словами: если вы мысленно представите в пространстве две непараллельные прямые, то всегда существует такой перпендикуляр, который их соединяет. Так вот, если мы параллельным переносом сдвинем одну прямую к другой по этому перпендикуляру до пересечения этих прямых, то полученный между ними угол и будет тем самым искомым углом.

В кубах и параллелепипедах, где прямые проходят через рёбра и диагонали такие углы определить несложно. А вот в части С присутствуют задания со скрещивающимися прямыми на порядок сложнее.

Вернёмся к нашей задаче.

Мысленно сдвинем отрезок CD вдоль перпендикуляра СC1 до пересечения с прямой A1C1. Получается, что необходимо найти синус угла между A1C1 и C1D1. Это мы можем сделать воспользовавшись определением синуса в прямоугольном треугольнике А1C1D1. Найдём:

По определению синуса:

318475. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что AC1 = 2BC. Найдите острый угол между диагоналями BD1 и CA1. Ответ дайте в градусах.

Построим правильную четырёхугольную призму, обозначим вершины, построим диагонали BD1 и CA1:

Сразу отметим, что диагонали BD 1 и CA 1 являются диагоналями прямоугольника A 1 BCD 1 , то есть они равны между собой и равны диагонали AC 1 (так как призма правильная четырехугольная).

Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

В условии сказано, что AC1 = 2BC, значит имеем BD1 = CA1 = 2BC. На основании изложенного можем сделать вывод о том, что:

то есть треугольники BОС и A1OD1 равносторонние.

Таким образом, угол острый между диагоналями равен 60 0 .

В данных заданиях используется теорема Пифагора, для нахождения углов необходимо владеть понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

245359. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

245360. Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

245361. Найдите угол ABD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ дайте в градусах.

245362. Найдите угол C1BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 4. Ответ дайте в градусах.

245363. Найдите угол DBD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA 1 = 5. Ответ дайте в градусах.

284357. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известно, что BD 1 = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA 1 .

284363. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известно, что DD 1 = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA 1 .