Логические операции над высказываниями

Эта логическая операция соответствует в обыденной жизни частице «не».

Определение. Отрицанием высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным, если высказывание x истинно.

Отрицание высказывания x обозначается и читается не x . Логические значения высказывания модно описать с помощью таблицы, которая называется таблицей истинности:

Пусть x высказывание. Так как тоже высказывание, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое является двойным отрицанием высказывания x . Логические значения высказываний и x совпадают.

2. Дизъюнкция (логическое сложение).

Эта логическая операция соответствует союзу «или».

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x или y истинно и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний x , y обозначается x y и читается « x или y ». Логические значения дизъюнкции описываются таблицей истинности:

Высказывания x , y называются членами дизъюнкции.

x – «5>3», y – «2>4». Тогда x y – «5>3» «2>4» истинно, так как истинно высказывание x .

В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в неисключающем смысле. Из определения дизъюнкции и отрицания следует, что высказывание x всегда истинно.

Эта логическая операция соответствует союзу «и».

Определение. Конъюнкцией двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x , y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкция высказываний x , y обозначается и читается « x и y ». Высказывания x , y называются членами конъюнкции. Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

x – «6 делится на 2», y – «6 делится на 3». Тогда – «6 делится на 2» «6 делится на 3» истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Из определения операций конъюнкции и отрицания следует, что высказывание всегда ложно.

Эта логическая операция соответствует словам «если …, то…».

Определение. Импликацией двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается ложным, если x истинно, а y ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний обозначается x → y и читается «если x , то y » или «из x следует y ». Высказывание x называется условием или посылкой, а высказывание y – следствием или заключением. Высказывание x → y называется следованием или импликацией. Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

1) x – «12 делится на 6», y – «12 делится на 3». Тогда импликация x → y – «если 12 делится на 6, то оно делится на 3» истинна, так как истинна посылка x , и истинно заключение y .

2) x – «12 делится на 2 и 3», y – «12 делится на 7». Тогда импликация x → y – «если 12 делится на 2 и 3, то оно делится на 7» ложна, так как условие истинно, а заключение ложно.

Употребление слов «если …, то…» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, когда, как правило, считается, что если высказывание x ложно, то высказывание «если x , то y » вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение «если x , то y » в обыденной речи всегда подразумевается, что предложение y вытекает из предложения x . Употребление слов «если…, то…» в математической логике не требует этого, так как в ней смысл высказываний не рассматривается.

Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «если x , то y ». Если при этом известно, что x истинно и доказана истинность импликации x → y то истинно и заключение y . В этом случае пишут x y и говорят, что из x следует y . Это классическое правило вывода постоянно используется в математике.

1. Эквиваленция .

Эта логическая операция соответствует словам «тогда и только тогда, когда».

Определение. Эквиваленцией или эквивалентностью двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x , y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний x , y обозначается символом x ↔ y и читается «для того чтобы x , необходимо и достаточно, чтобы y » или « x тогда и только тогда, когда y ». Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности :