Матрицы. Виды матриц. Основные термины.

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

(матрица, размер матрицы, элемент матрицы, равные матрицы). . . (нулевая матрица, трапециевидная матрица, ступенчатая матрица, нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица).

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left( \begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показать\скрыть

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

$$ \left( \begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right);\;\; \left[ \begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right]; \;\; \left \Vert \begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right \Vert $$

Произведение $m\times n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)$ имеет размер $3 \times 2$.

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left( \begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ – это номер строки, а число $j$ – номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы

$$ A=\left( \begin 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end \right) $$

расположен элемент $a_=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_$. Нередко используется и такая запись:

Здесь $(a_)$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_$. В развёрнутом виде матрицу $A_=(a_)$ можно записать так:

Введём еще один термин – равные матрицы.

Запись "$i=\overline$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin 8 & -9\\0 & -87 \end\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end\right)$, поскольку $a_\neq c_$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Определить размер матрицы $A=\left(\begin -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end \right)$. Указать, чему равны элементы $a_$, $a_$, $a_$.

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_$.

Элемент $a_$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_=-2$. Элемент $a_$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_=23$. Элемент $a_$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_=-5$.

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица $A_$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка. Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец. Например, $\left( \begin -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end \right)$ – матрица-строка, а $\left( \begin -1 \\ 5 \\ 6 \end \right)$ – матрица-столбец.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m\neq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ – прямоугольная матрица. Например, матрица $\left( \begin -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ – квадратная матрица порядка $n$. Например, $\left( \begin -1 & -2 \\ 5 & 9 \end \right)$ – квадратная матрица второго порядка; $\left( \begin -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end \right)$ – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_$ можно записать так:

Говорят, что элементы $a_$, $a_$, $\ldots$, $a_$ находятся на главной диагонали матрицы $A_$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_$, $a_$, $\ldots$, $a_$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами. Например, для матрицы $C=\left(\begin2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end\right)$ имеем:

Элементы $c_=2$, $c_=9$, $c_=4$, $c_=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_=1$, $c_=8$, $c_=0$, $c_=-4$ – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):

Например, для матрицы $C=\left(\begin 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end\right)$ имеем:

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left( \begin 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end \right)$ главными диагональными элементами будут $b_=2$, $b_=-9$, $b_=4$.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы $A_$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right)$, $\left( \begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)$ – нулевые матрицы.

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_=-9$.

Матрица $A_=\left(a_\right)$ называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

1. Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
2. Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_$, $a_$, . $a_$ – ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1\lt\lt\ldots\lt$.

Примеры ступенчатых матриц:

Для сравнения: матрица $Q=\left(\begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end\right)$ не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках $q_=7$ и $q_=10$ имеют номера $k_2=4$ и $k_3=2$. Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие $k_2\lt$, которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: $\left(\begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end\right)$.

Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов $a_$, $a_$, . $a_$ выполнены условия $k_1=1$, $k_2=2$. $k_r=r$, т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

$$ A_ =\left(\begin a_ & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ 0 & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end\right) $$

Примеры трапециевидных матриц:

Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей. Например, $\left( \begin 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end \right)$ – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, $\left( \begin 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end \right)$ – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, $\left( \begin 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end \right)$ – нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно. Например, $\left( \begin -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end \right)$ и $\left( \begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end \right)$ – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left( \begin 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end\right)$ – единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end\right)$ – единичная матрица второго порядка.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).