Экстремум функции двух переменных. Примеры исследования функций на экстремум.

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Говорят, что $(x_0,y_0)$ – точка (локального) максимума, если для всех точек $(x,y)$ некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ выполнено неравенство $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)> f(x_0,y_0)$, то точку $(x_0,y_0)$ называют точкой (локального) минимума.

Точки максимума и минимума часто называют общим термином – точки экстремума.

Если $(x_0,y_0)$ – точка максимума, то значение функции $f(x_0,y_0)$ в этой точке называют максимумом функции $z=f(x,y)$. Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции $z=f(x,y)$. Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином – экстремумы функции.

Алгоритм исследования функции $z=f(x,y)$ на экстремум

Если $\Delta > 0$ и $\frac> 0$ (или $\frac> 0$), то в исследуемая точка есть точкой минимума. Если $\Delta > 0$ и $\frac< 0$ (или $\frac< 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума. Если $\Delta < 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет. Если $\Delta = 0$, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Исследовать на экстремум функцию $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$.

Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:

Сократим каждое уравнение этой системы на $2$ и перенесём числа в правые части уравнений:

Мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Мне в этой ситуации кажется наиболее удобным применение метода Крамера для решения полученной системы.

Значения $x=2$, $y=-3$ – это координаты стационарной точки $(2;-3)$. Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

Вычислим значение $\Delta$:

Так как $\Delta > 0$ и $\frac > 0$, то согласно алгоритму точка $(2;-3)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $(2;-3)$:

$$ z_=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\cdot (-3)+7=-90. $$

Ответ: $(2;-3)$ – точка минимума; $z_=-90$.

Исследовать на экстремум функцию $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$.

Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:

Сократим первое уравнение на 3, а второе – на 6.

Если $x=0$, то второе уравнение приведёт нас к противоречию: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Отсюда вывод: $x\neq 0$. Тогда из второго уравнения имеем: $xy=2$, $y=\frac$. Подставляя $y=\frac$ в первое уравнение, будем иметь:

Получили биквадратное уравнение. Делаем замену $t=x^2$ (при этом имеем в виду, что $t > 0$):

Если $t=1$, то $x^2=1$. Отсюда имеем два значения $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Если $t=4$, то $x^2=4$, т.е. $x_3=2$, $x_4=-2$. Вспоминая, что $y=\frac$, получим:

Итак, у нас есть четыре стационарные точки: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. На этом первый шаг алгоритма закончен.

Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(1;2)$. В этой точке имеем:

Так как $\Delta(M_1) < 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

Исследуем точку $M_2(-1;-2)$. В этой точке имеем:

Так как $\Delta(M_2) < 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

Исследуем точку $M_3(2;1)$. В этой точке получим:

Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac\right|_ > 0$, то согласно алгоритму $M_3(2;1)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

$$ z_=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Осталось исследовать точку $M_4(-2;-1)$. В этой точке получим:

Так как $\Delta(M_4) > 0$ и $\left.\frac\right|_ < 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

Исследование на экстремум завершено. Осталось лишь записать ответ.

$(2;1)$ – точка минимума, $z_=-27$;
$(-2;-1)$ – точка максимума, $z_=29$.

Вычислять значение $\Delta$ в общем случае нет необходимости, потому что нас интересует лишь знак, а не конкретное значение данного параметра. Например, для рассмотренного выше примера №2 в точке $M_3(2;1)$ имеем $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Здесь очевидно, что $\Delta > 0$ (так как оба сомножителя $36$ и $(2^2-1^2)$ положительны) и можно не находить конкретное значение $\Delta$. Правда, для типовых расчётов это замечание бесполезно, – там требуют довести вычисления до числа :)

Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$.

Будем следовать алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:

Сократим оба уравнения на $4$:

Добавим к второму уравнению первое и выразим $y$ через $x$:

Подставляя $y=-x$ в первое уравнение системы, будем иметь:

Из полученного уравнения имеем: $x=0$ или $x^2-2=0$. Из уравнения $x^2-2=0$ следует, что $x=-\sqrt$ или $x=\sqrt$. Итак, найдены три значения $x$, а именно: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt$, $x_3=\sqrt$. Так как $y=-x$, то $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt$, $y_3=-x_3=-\sqrt$.

Первый шаг решения окончен. Мы получили три стационарные точки: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt,\sqrt)$, $M_3(\sqrt,-\sqrt)$.

Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(0;0)$. В этой точке имеем:

$$\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0.$$

Так как $\Delta(M_1) = 0$, то согласно алгоритму требуется дополнительное исследование, ибо ничего определённого про наличие экстремума в рассматриваемой точке сказать нельзя. Оставим покамест эту точку в покое и перейдём в иным точкам.

Исследуем точку $M_2(-\sqrt,\sqrt)$. В этой точке получим:

Так как $\Delta(M_2) > 0$ и $\left.\frac\right|_ > 0$, то согласно алгоритму $M_2(-\sqrt,\sqrt)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_2$:

Аналогично предыдущему пункту исследуем точку $M_3(\sqrt,-\sqrt)$. В этой точке получим:

Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac\right|_ > 0$, то согласно алгоритму $M_3(\sqrt,-\sqrt)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

Настал черёд вернуться к точке $M_1(0;0)$, в которой $\Delta(M_1) = 0$. Согласно алгоритму требуется дополнительное исследование. Под этой уклончивой фразой подразумевается "делайте, что хотите" :). Общего способа разрешения таких ситуаций нет, – и это понятно. Если бы такой способ был, то он давно бы вошёл во все учебники. А покамест приходится искать особый подход к каждой точке, в которой $\Delta = 0$. Ну что же, поисследуем поведение функции в окрестности точки $M_1(0;0)$. Сразу отметим, что $z(M_1)=z(0;0)=3$. Предположим, что $M_1(0;0)$ – точка минимума. Тогда для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) > z(M_1) $, т.е. $z(M) > 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) < 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Рассмотрим точки, у которых $y=0$, т.е. точки вида $(x,0)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x^2-2)+3. $$

В всех достаточно малых окрестностях $M_1(0;0)$ имеем $x^2-2 < 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Но, может быть, точка $M_1(0;0)$ – точка максимума? Если это так, то для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) < z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) > 3$? Тогда в точке $M_1$ точно не будет максимума.

Рассмотрим точки, у которых $y=x$, т.е. точки вида $(x,x)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Так как в любой окрестности точки $M_1(0;0)$ имеем $2x^4 > 0$, то $2x^4+3 > 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z > 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой максимума.

Точка $M_1(0;0)$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Вывод: $M_1$ вообще не является точкой экстремума.

Ответ: $(-\sqrt,\sqrt)$, $(\sqrt,-\sqrt)$ – точки минимума функции $z$. В обеих точках $z_=-5$.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎