Аэродинамические характеристики тонких тел, движущихся в газе с ударными волнами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рассмотрена задача обтекания тонкого осесимметричного тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, при падении на него слабой ударной волны. Для расчета нестационарных аэродинамических характеристик в рамках линеаризованной теории разработан метод, основанный на аналогии с задачей о входе в эквивалентный вертикальный порыв. Получены достаточно простые формулы и проведены параметрические расчеты, показывающие, что нестационарные нагрузки, как правило, имеют максимумы, которые существенно превосходят их установившиеся значения и не могут быть получены в квазистационарном приближении.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Голубкин В. Н., Негода В. В.

Текст научной работы на тему «Аэродинамические характеристики тонких тел, движущихся в газе с ударными волнами»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОНКИХ ТЕЛ, ДВИЖУЩИХСЯ В ГАЗЕ С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ

В. Н. Голубкин, В. В. Негода

Рассмотрена задача обтекания тонкого осесимметричного тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, при падении на него слабой ударной волны. Для расчета нестационарных аэродинамических характеристик в рамках линеаризованной теории разработан метод, основанный на аналогии с задачей о входе в эквивалентный вертикальный порыв. Получены достаточно простые формулы и проведены параметрические расчеты, показывающие, что нестационарные нагрузки, как правило, имеют максимумы, которые существенно превосходят их установившиеся значения и не могут быть получены в квазистационарном приближении.

Импульсы нестационарных сил и моментов, характеризующие суммарное воздействие ударной волны на тонкие тела, могут быть найдены методом, предложенным в работе [1] на основе линеаризованной теории. Расчеты с помощью этого метода проведены в работе [2]. В то же время для ряда приложений, в частности, для нахождения максимальных нагрузок, важно знать и мгновенные значения нестационарных аэродинамических характеристик. В данной статье для их определения предложен метод, основанный на аналогии с задачей о входе в эквивалентный вертикальный порыв.

1. Пусть тонкое осесимметричное тело движется со сверхзвуковой скоростью V вдоль своей оси в покоящемся газе с давлением р0 и плотностью р. Навстречу ему со скоростью звука а распространяется плоский фронт слабой ударной волны, составляющий угол у с осью тела. Рассмотрим сначала случай, когда давление.за волной постоянно: Р\ = р0+Ар, причем избыточное давление достаточно мало Ар<р0. Введем неподвижную декартову систему координат Хуг, ось X которой направлена противоположно скорости полета. Вектор скорости фронта волны лежит в вертикальной плоскости Ху. За начало отсчета времени t примем момент встречи волны с телом. Предположим также, что число М полета не слишком велико. Тогда, вследствие того, что тело тонкое и ударные волны имеют достаточно малую интенсивность, для решения задачи можно будет воспользоваться линеаризованной теорией потенциальных течений. Обозначим через Ф(Х, у, г, £) потенциал скорости. В равномерном спутном потоке со скоростью У1 за падающей волной,очевидно

Ф1 — sin + У cos 7 — at), V\ = bpi pa, a2 — *p0]p,

где x — отношение удельных теплоемкостей. Представим потенциал скорости при падении ударной волны на тонкое тело в виде

Вследствие линейности задачи потенциал Ф' можно представить в виде суммы двух слагаемых

Симметричная часть (ps — потенциал скорости продольного (вдоль оси тела) обтекания, который в данном случае можно считать известным и независящим от падающей волны. Несимметричная часть ф — потенциал скорости поперечного обтекания за счет вертикальной составляющей скорости спутного потока за волной y^ViCosy, создающей угол атаки a = Vi/V. Потенциал ф является основной искомой функцией, поскольку он в конечном счете определяет приращения подъемной силы и продольного момента тела при падении на него ударной волны. Для его определения заметим, что влияние слабой ударной волны на тело сводится к его обтеканию дополнительным порывом,- имеющим вертикальную скорость Vi и движущимся навстречу ему с известной скоростью. Назовем его эквивалентным вертикальным порывом. Таким образом, потенциал ф может быть найден с помощью аналогии рассматриваемой задачи с задачей о входе тела в эквивалентный вертикальный порыв.

Перейдем к решению последней задачи. Вследствие того, что поперечный размер тонкого тела (радиус R) существенно меньше длины с, потенциал <р удовлетворяет двумерному волновому уравнению в плоскости yz [3], решение которого зависит от продольной координаты X как от параметра. В полярных координатах г/ = г sin 0, z=rcos0 это уравнение имеет вид

Для удобства записи граничных условий перейдем в связанную с телом систему координат xyz с началом в носке.

Далее, следует различать участок тела, по которому ударная волна уже прошла, образовав вертикальный скос потока уь и участок тела перед волной, обтекаемый только в продольном направлении. Тогда условие непротекания можно записать в следующем виде:

в J I V + a/sint J

где Н — ступенчатая функция Хевисайда.

Кроме того, в соответствии с известным правилом эквивалентности [4] имеем условие ф —>■ 0 при г-у оо.

Перейдем теперь к безразмерным переменным, относя все линейные размеры к длине тела с, время — к с/а, потенциал ф — к Vc, и сохраним для них прежние обозначения. При таком масштабе времени охват волной поперечных сечений тонкого тела (а в случае у=0 и всего тела) с погрешностью б = /?Шах/с<1 считаем мгновенным. Тогда получим следующую задачу для определения ф:

frr + -JT fr + ?69 = fit’. (!)

Коэффициент давления, связанный с воздействием порыва, на поверхности тела дается формулой

Здесь опущены квадратичные члены y2r, которые симметричны

относительно плоскости у — 0 и не дают вклада в подъемную силу. Поскольку взаимодействие порыва с телом начинается в момент / = 0, очевидно, что ф = 0 при £<0. Применяя преобразование Лапласа по времени

<р* (г, 6, s; jc) = J<p(r, 6, t; x)e

перепишем задачу (1) — (4) в виде

Решение задачи (5) — (7) методом разделения переменных дает [31

где Ki — модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда) [5].

Подставляя это решение в уравнение (8) и интегрируя с*р по углу 0, находим преобразование от выражения для подъемной силы сечения х=const:

В результате обратного преобразования Лапласа с учетом неполного охвата тела порывом при t<ku получим

через / обозначено обратное преобразование Лапласа функции Р. Графики функций /, /0, /1 приведены в книге [3]. Там же имеются асимптотики для малых и больших значений аргумента

Интегрируя 1^ по длине тела и относя результат к площади миделя лб2с2(б = ^тах), получим выражения для аэродинамических коэффициентов су, тг в зависимости от времени (момент вычисляется относительно носка тела х = 0):

Приведем для сравнения результаты расчета тех же величин в квазистационарном приближении

Для тела, замкнутого с обоих концов, аналогично изложенному выше находятся нестационарные аэродинамические характеристики в случае, когда ударная волна догоняет его:

^ | ^О ах> (*) = - ж ]* Ж (Х’ *) Лх’

Здесь по-прежнему Y — острый угол между фронтом волны и осью тела, причем М sin y< 1.

а при t^T остается равным нулю (т. е. Т=\/к), то нестационарные аэродинамические характеристики

Здесь угол атаки а=const и вычисляется по начальному перепаду давления Др.

2. Рассмотрим результаты расчетов с помощью полученных формул. На рис. 1 сплошными линиями приведены графики функций cay(t), го“(0 для тонкого конуса R(x)= 6х при встречном воздействии на него ударной волны. (Для наглядности на рис. 1 угол 6 выражен в градусах). Видно, что в процессе взаимодействия нестационарные аэродинамические характеристики в момент времени t=k4, когда ударная волна полностью охватывает тело, достигают максимальных по абсолютной величине значений, которые существенно превосходят их значения при установившемся обтекании под углом атаки (£-><», а практически при ^>1). Параметрические расчеты показали, что величины Cymах> lm2imax возрастают при уменьшении угла раствора конуса, угла падения волны, числа М полета и практически не зависят от градиента давления за волной при его линейном уменьшении (рис. 2). Подчеркнем, что полученные «забросы» сил и моментов обусловлены существенно нестационарным характером обтекания и не могут быть обнаружены в квазистационарном приближении, дающем монотонные изменения са (t), tnaz(i), которые показаны штриховой линией на рис. 1.

В работе [2] определен импульс нестационарной подъемной силы, действующей на тонкий конус за все время обтекания ударной волной:

Определив предлагаемым методом функцию су(£) и подставив в соотношение (9), после интегрирования получаем полное совпадение результата с аналитическим выражением (10) (соответственно кривые 1 и 2 на рис. 3).

который оказался равным

cos 7 (2M sin 7 — 1)

В качестве второго примера определены нестационарные аэродинамические характеристики тела Сирса—Хаака, имеющего минимальное волновоб сопротивление при заданных объеме и длине. Уравнение его образующей

Результаты расчетов обнаруживают те же тенденции изменения максимальных нагрузок в зависимости от основных параметров, что и для конуса. Однако имеется и существенное отличие: выход на стационарные значения сопровождается немонотонным изменением т1(^)

после стадии охвата, при котором они меняют знак (рис. 4). Для конуса немонотонность также наблюдалась, но лишь при достаточно малых углах раствора (б<2°). Штриховыми линиями на рис. 4 показаны результаты расчета в квазистационарном приближении, которое дает существенно меньшие значения гаах, | т\ |шах.

В случае догонного взаимодействия ударной волны с рассматриваемым телом (при прочих равных условиях) также обнаруживаются «забросы» нестационарных аэродинамических характеристик, но вели-

------г нестационарное обтекание

чина их в несколько раз меньше, чем при встречном взаимодействии (соответственно кривые 1 и 2 на рис. 5). Вместе с тем характерное время нестационарного процесса возрастает за счет увеличения времени охвата k2 и при значениях sin слегка превышающих 1/М (вследствие чего й2>1), нестационарность становится существенным фактором обтекания тела догоняющей ударной волной.

В заключение отметим, что использованная в работе схема безотрывного обтекания контура поперечного сечения тела может нарушиться вследствие отрыва вязкого пограничного слоя через определенный промежуток времени после того, как скорость набегающего потока внезапно возросла от нуля до конечной величины [см. (2)]. Однако оценки на основе решения такой задачи для кругового цилиндра [7] показывают, что при больших числах Рейнольдса Re=Fc/v»l условия

соблюдающиеся в широком диапазоне параметров, достаточны для того, чтобы обтекание оставалось безотрывным в течение безразмерного времени t

1, когда влияние нестационарное™ особенно велико.

1. Голубинский А. И., Коган М. Н. Об импульсе нестационарного давления, действующего на тела в жидкости или газе. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 1.

2. К а з а к о в В. А. Об определении импульсов сил и моментов, сообщаемых телам вращения ударными волнами.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 4.

3. Майлс Дж. У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. — М.: Физматгиз, 1963.

4. Эшли X., Л э н д а л М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1969.

5. Я н к е Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции, 3-е изд.— М.: Наука, 1977.

6. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. — М.: Наука, 1971.