Геометрия 8 класс. Автор: Л. С. Атанасян. 1 четверть
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство: на рис. 1–3.
II.Объяснение нового материала.(п.39-41)
1. Вспомнить определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол).
Что общего у этих геометрических фигур?
3. Понятие многоугольника.
4. Рассмотреть элементы многоугольника (вершины, стороны, диагонали, углы).
5. Отметить, что каждый многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
6. Понятие выпуклого многоугольника.
7.Сформулировать и доказать теорему о сумме углов выпуклого n -угольника.
III. Закрепление изученного материала.
решить задачи №№ 363, 364 (а), 365 (а, г) , 366 370.
IV. Самостоятельная работа №1.
1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.
2. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найдите число сторон этого многоугольника.
п.2.ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ
II. Изучение нового материала(п.42).
1. Дать определение параллелограмма. Воспроизвести рисунок 157 из учебника в тетради и записать: «Параллелограмм АВСD ». Записать пары параллельных сторон: АВ || CD , BC || AD .
Обратить внимание на то, что определение параллелограмма позволяет сделать два вывода:
1) Если известно, что некоторый четырехугольник является параллелограммом, то можно сделать вывод о том, что его противоположные стороны параллельны.
2) Если известно, что у некоторого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом.
2. Рассмотреть свойства параллелограмма.
А + В = 180° и т. д.
3. Доказать, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
III. Закрепление изученного материала.
Решить задачи № 376 (а) – устно; № 376 (б), № 372 (а).
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА (п.43).
I. Изучение нового материала.
1. Перед тем как приступить к изучению признаков параллелограмма, следует вспомнить, что означает слово «признак» и что такое обратная теорема.
2. Сформулируй теоремы, обратные утверждениям о свойствах параллелограмма.
3. Подчеркнуть, что некоторое утверждение верно, но отсюда еще не следует, что верно и обратное ему утверждение.
4. Доказательство признаков параллелограмма.
АВ || СD и ВС || СD
АВ || СD и АВ = СD
АВ = СD и АD = ВС
АО = ОС и ВО = ОD
II. Закрепление изученного материала.
Решить задачи №№ 372(б), 373,374.
№ 372 (б). О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:
Пусть АВ = х см, а ВС = ( х + 7) см.
Так как периметр параллелограмма 48 см, имеем уравнение:
Ответ: АВ = 7 см, ВС = 14 см.
III. Самостоятельная работа №2.
1. В параллелограмме АВСD диагонали равны 8 см и 5 см, сторона ВС равна 3 см, О – точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОD ?
2. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А , которая пересекает сторону ВС в точке Е . Докажите, что DЕС равнобедренный.
3. АС и ВD – диаметры окружности с центром О . Докажите, что А , В , С и D – вершины параллелограмма.
I. Изучение нового материала.
1. Рассмотреть такой четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
2. Определение трапеции и ее элементов (рис. 161 из учебника).
3. Виды трапеции (рис. 162 из учебника).
Свойства равнобокой трапеции.
АВСD –равнобокая трапеция
Признаки равнобокой трапеции. АВСD – трапеция.
АВСD – равнобокая трапеция
АВСD – равнобокая трапеция
II. Решение задач.
№ 385 (решена в учебнике), № 386 (по теореме Фалеса), 387.
№ 388 (а). План решения.
1) Проведем СЕ || АВ .
2) Докажем, что АВСЕ – параллелограмм, тогда АВ = СЕ .
3) Докажем, что СDЕ – равнобедренный, тогда 1 = 2.
4) Докажем, что А = 2. (Используя, что АВ || CЕ , А и 1 – соответственные.)
5) Докажем, что В = ВСD (используя, что АD || ВС , В и А , ВСD и 2 – пары внутренних одно-сторонних углов).
1) Проведем ВМ АD и СН АD .
2) Докажем, что ВСНМ – параллелограмм, тогда ВМ = ЕН .
3) Докажем, что АВМ = DСН (по катету и гипотенузе), тогда А = D .
4) Аналогично I способу докажем, что АВС = ВСD .
III. Самостоятельная работа №3.
Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.
п.3. ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ.(п.45).
I. Изучение нового материала.
Любой прямоугольник является параллелограммом, значит, обладает всеми его свойствами:
Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства:
а) А = В = C = D = 90°
(все углы прямые)
б) АС = ВD (диагонали равны)
АВСD – параллелограмми АС = ВD
II. Решение задач: № 400, 401(а),403.
№ 400. О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:
1. В прямоугольнике АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М . 1) Докажите, что АDМ – равнобедренный.
2) Найдите периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?
АD = 3, Р АВСD = 22 АD = 5, Р АВСD = 26 РОМБ. КВАДРАТ (п.46).
I. Изучение нового материала. Свойства ромба
АС – биссектриса А
ВD – биссектриса В
все стороны равны
биссектриса углов ромба
и АС – биссектриса А
АС , ВD , СА , DВ – биссектриса угла
все стороны равны
все углы прямые
отрезки диагоналей равны
каждая диагональ является
Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является квадратом, можно:
џ доказать, что четырехугольник является прямоугольником с равными сторонами;
џ доказать, что четырехугольник является ромбом с прямыми углами
II. Решение задач.
а) АВ = ВС = АС , АВС – равносторонний, А = В = С = 60° в ромбе АВС = 60°, ВАD = 120°.
№ 410 (а, б) признаки квадрата,404.
III. Математический диктант
1. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол?
2. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом?
3. Диагонали прямоугольника АЕKМ пересекаются в точке О . Отрезок
АО = 3. Найдите длину диагонали ЕМ .
4. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник является прямоугольником?
5. Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон.
6. Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом?
7. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника, если один из углов ромба 30°.
8. Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол.
ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ.(п.47)
I. Изучение нового материала. Согласно п.47, стр 110
II. Решение задач.
№№ 416, 417, 418 (устно).
Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АС и ВD – его биссектриса.
1. По теореме о биссектрисе равнобедренного треугольника ВD АС и АD == DС . Следовательно, точки А и С симметричны относительно прямой ВD .
2. Возьмем произвольную точку М на основании АС . Пусть, например, точка М лежит между точками А и D . Отметим точку М 1 между точками D и С так, что DМ 1 = DМ .
Точка М 1 симметрична точке М относительно прямой ВD . Имеем для каждой точки на основании АС симметричную ей относительно ВD точку.
3. Возьмем теперь произвольную точку N на одной из боковых сторон АВС , например на стороне АВ . Отложим от вершины В на луче ВС отрезок ВN 1 , равный ВN . Так как BN АВ , то ВN 1 N 1 лежит на стороне ВС . Треугольник BNN 1 равнобедренный, ВК – его биссектриса, следовательно, NN 1 ВК , NК = N 1 К , а поэтому точки и N и N 1 симметричны относительно прямой ВD .
Мы доказали, что для каждой точки АВС точка, симметричная ей относительно прямой ВD , также принадлежит этому треугольнику. Это означает, что прямая ВD – ось симметрии треугольника АВС .
I. Решение задач.
1) 2 = 3 как накрест лежащие при ВС || АD и секущей АС .
1 + 2 = 60° АВСD – равнобокая трапеция.
3) АВС – равнобедренный треугольник, так как 1 = 3.
4) СD против угла 30°, поэтому АD = 2 СD .
5) По условию АВ + ВС + СD + АD = 20
II. Самостоятельная работа №4.
1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая, пересекающая стороны АD и ВС соответственно в точках Е и F . Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см. АЕ = 5 см, BF = 3 см.
2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°.
3. Разделите данный отрезок на 5 равных частей.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
1. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О . Найдите угол между диагоналями, если АВО = 30°.
2. В параллелограмме KМNP проведена биссектриса угла МKР , которая пересекает сторону MN в точке Е .
а) Докажите, что треугольник KМЕ равнобедренный.
б) Найдите сторону KР , если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.