Системы счисления. Двоичная система счисления (занятие кружка)

По-чукотски глагол “считать” (“рылгык”) происходит от слова “рылг” - палец и значит, собственно, “пальчить”. “Десять” по-чукотски обозначается как “две руки”, а слово “двадцать” происходит от слова “человек” — весь человек, т. е. все пальцы на руках и ногах.

Вообще, видимо, сначала у многих народов господствовала не десятичная, а двадцатеричная система. Это отразилось и в строении числительных: например, по-французски 80 обозначается quatre-vingt, т. е. “четырежды 20”,- совсем как по-чукотски.

Слово “сорок” в русском языке резко отличается от других числительных, обозначающих десятки (трихдцать, пятьхдесят), а чтобы обозначить очень большое число, употребляют старинное выражение “сорок сороков”.

Не все народы и не всегда считают только с помощью пальцев. Иногда для этого пользуются другими частями тела. Например, одно из папуасских племен Новой Гвинеи считает так: мизинец левой руки, безымянный, средний, указательный, большой палец, запястье, локоть, плечо, левая сторона груди, правая сторона груди. Но характерно, что и здесь используется в качестве опоры именно человеческое тело. Лишь в дальнейшем числительные отрываются от этой опоры и начинают употребляться самостоятельно.

2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системы счисления — это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

При подсчете многих объектов удобно группировать их по нескольку штук. Такая группировка облегчает счет. Поскольку удобно считать на пальцах, предметы часто группируют по 5 или по 10 (впрочем, иногда и по 12- вспомните слово “дюжина”; иногда и по 7 — в неделе 7 дней).

В римской системе счисления 1 есть особые знаки: для единицы - I, пяти - V, десяти - X, пятидесяти - L, ста - С, пятисот -D, тысячи - М. Примеры записи чисел в римской системе приведены в таблице. Римская система более или менее пригодна для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобна для умножения и деления.

Если в записи положение цифр (знаков) не играет важной роли, то систему счисления называют непозиционной. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков. У древних вавилонян система счисления вначале тоже была непозиционной, но впоследствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи цифр, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличие от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одну позицию, у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней: в часе — 60 минут, в минуте – 60 секунд.

Запись чисел в различных системах счисления

Долгое время в вавилонской системе счисления не было нуля, т. е. знака для “пропущенного” разряда. В IX в. появился особый знак для нуля.

Десятичная система распространилась по всему миру.

Например, записывая 2653, мы имеем в виду число 2·10 3 +6·10 2 +5·10 1 +3·10°. Особая роль отводится числу десять; все числа представляются в виде суммы различных степеней десяти с коэффициентами, принимающими значения от 0 до 9. Поэтому эта система и называется десятичной.

А что будет, если вместо десяти использовать какое-нибудь другое число, например шесть? По аналогии нам потребуется шесть цифр-символов. В качестве их мы можем взять знакомые нам символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, которые будут обозначать числа от нуля до пяти. Число шесть мы примем за единицу следующего разряда, и поэтому в нашей новой системе счисления оно будет записываться так: 10.

Продолжая аналогию, мы можем представить любое натуральное число в виде суммы различных степеней шестерки с коэффициентами от нуля до пяти. Например: 7=1·6 1 +1·6°, 45=1·6 2 +1·6 1 +1·6°.

Поэтому в новой системе счисления, которая называется шестеричной, естественно записывать число 710 как 116, 4510 как 1136 (индекс у числа означает, что это число записано в данной системе счисления).

Нетрудно понять, что в шестеричной системе счисления можно записать любое натуральное число. Покажем, как это сделать для числа 45010. Наибольшее число, являющееся степенью шестерки и не превосходящее 450,- это 216. Разделим 450 на 216 с остатком: 450=2-216+18.

Неполное частное равно 2. Поэтому первой цифрой шестеричной записи числа 450 будет 2.

Остаток от деления равен 18. Разделим его на предыдущую степень шестерки (на первом этапе мы делили на б 3 , а теперь -на б 2 ), с остатком: 18=0-36+18. Неполное частное равно нулю, поэтому вторая цифра - 0. Остаток равен 18. Разделим с остатком 18 на б 1 : 18=3-6+0. Значит, третья цифра равна 3, а остаток - 0. Таким образом, последняя цифра равна 0. Итак, 45010=20306.

При построении новой системы счисления мы не пользовались никакими специфическими свойствами числа 6. Аналогично по любому натуральному числу л, большему 1, можно построить л-ичную систему счисления, в которой запись числа связана с его разложением по степеням числа л.

Еще в XVII в. немецкий математик Лейбниц предложил перей-1и на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 10б=11010102. Однако в XX в., когда были созданы компьютеры, оказалось, что для выполнения арифметических операций на машинах самой удобной является именно двоичная система счисления. Удобным компромиссом между человеком и машиной являются шее шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления. Дело I Юм, что очень легко переводить числа из двоичной системы н любую из них, а по краткости записи восьмеричная система почти такая же, как десятичная, а шестнадцатеричная даже короче.

3.ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

В двоичной системе счисления таблицы сложения и умножения удивительно просты:

0 + 0 = 0 0-0 = 0 0 + 1=1 0-1=0 1 + 1=10 1-1=1

Пользуясь этими таблицами, легко складывать и вычитать:

• 2 + 3 = 5;
• 7 + 5 = 12;
• 5-3 = 2;
• 435 + 23 = 458.

Умножение в двоичной системе:

В десятичной системе этот пример выглядят так: 29 * 5 = 145

В двоичной системе можно записывать не только целые числа. Например, двоичная запись 101,1010111 в десятичную систему переводится следующим образом

1·2 2 +0·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 +0·2 -4 +1·2 -5 +1·2 -6 +1·2 -7 = 4 + 1 + 1/2 + 1/8+ 1/64+ 1/128 = 5,6796875.

Операции над натуральными числами в n-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы счисления таблицы таковы:

4. Решение задач.

Задача 1.Сколько цифр необходимо иметь: а) в двоичной системе счисления; б) n-ичной системе счисления?

Задача 2.Запишите в десятичной системе счисления числа 101012, 101013, 2114, 1267, 15811.

Задача 3.Запишите число 10010 в двоичной, троичной, четверичной, пятеричной, шестеричной, семеричной, восьмеричной и девятеричной системах счисления.

Задача 4.Запишите число 11110 в одиннадцатеричной системе счисления (в качестве недостающей цифры 10 принято использовать букву А).

Задача 4.Запишите число 11101001112 в шестнадцатеричной системе счисления (в качестве недостающих цифр от 10 до 15 принято использовать буквы А, В, С, D, E, F).

Задача 5. Переведите число 100101110011012 из двоичной в восьмеричную систему счисления.

Задача 6. Составьте таблицы сложения и умножения для систем счисления: а) четверичной; б) пятеричной ; в) пятнадцатеричной.

Задача 7. Вычислите:

Задача 8. Сначала выполните действия в десятичной системе, затем переведите числа в двоичную систему, выполните в ней те же действия, ответ переведите в десятичную систему: а) 20+40; б) 1998+23; г) 23·34534; д) 460·20.

1. Петраков И.С. Математические кружки, М.:Просвещение,1987, стр.7-10

2. Факультативный курс по математике 7-9, М.:Просвещение, 1991, стр.4-22.

3. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике, М.:Просвещение,2005,стр.128-133.

4. Методические разработки для первого курса математического отделения ОЛ ВЗМШ, М. 2009.