Геометрия и фундаментальная математика в исламском мире ⁠ ⁠

Мозаики «гирих» — это набор пяти плиток, использовавшихся для создания орнамента для украшения зданий в исламской архитектуре. Плитки использовались примерно с 12-го века и орнаменты существенно улучшились к моменту построения усыпальницы Дарб-и Имам в городе Исфахан в Иране (построена в 1453).

Пять плиток мозаики включают:

-правильный десятиугольник с внутренними углами 144°;

-удлиненный (неправильный выпуклый) шестиугольник с внутренними углами 72°, 144°, 144°, 72°, 144°, 144°;

-галстук-бабочка (невыпуклый шестиугольник) с внутренними углами 72°, 72°, 216°, 72°, 72°, 216°;

-ромб с внутренними углами 72°, 108°, 72°, 108°;

-правильный пятиугольник с внутренними углами 108°.

Все рёбра этих плиток имеют одну и ту же длину, а все углы кратны 36° (π/5 радиан). Четыре плитки (кроме пятиугольника) имеют двустороннюю (зеркальную) симметрию относительно двух перпендикулярных осей. Некоторые плитки имеют дополнительные симметрии. В частности, десятиугольник имеет десятикратную вращательную симметрию (вращение на 36°), а пятиугольник имеет пятикратную вращательную симметрию (вращение на 72°).

Собственно, гирих — это линии (орнамента), которым декорированы плитки. Плитки использовались для создания орнамента (гириха). На языке фарси слово گره означает "узел". В большинстве случаев виден только гирих, (и другие украшения в виде цветов), но не границы самих плиток. Гирих является ломаными отрезками, пересекающими границы плиток по центру под углом 54° (3π/10) к ребру. Две перекрещивающиеся линии гириха пересекают каждое ребро плитки. Большинство плиток имеют единственный орнамент внутри, соответствующий симметрии плитки. Однако десятиугольник имеет два возможных орнамента гириха, один из которых имеет только пятикратную, а не десятикратную симметрию.

Труды средневековых ученных исламского мира по теории квазикристаличности были к сожалению утеряны но остались памятники архитектурного зодчества, которые являются прекрасным наглядным примеров насколько далеко они продвинулись.

Полное описание данного феномена современные ученные смогли сформулировать только лишь в середине 20 века в знаменитых трудах математика Роджера Пенроуза

Мозаика Пенроуза, плитки Пенроуза — общее название трёх типов непериодического разбиения плоскости. Названы в честь английского математика Роджера Пенроуза, который исследовал эти разбиения в 70-х годах XX века.

415 постов 2K подписчик

Были же передовые ребята в свое время. Все математика у них. Расстояние от Земли до Солнца вычислили. Передовая медицина по тем временам. А потом ударились в религию и все .

Очень красивая архитектура, конечно, одна из любимых в мире. Уже после первого посещения Стамбула хотелось узнать, как она получается такой? Не зря просидел 6 лет на Пикабу!

Странно что не взорвалось

Бродим по Средневековью. Замок Ланкастер (Lancaster Castle). Часть 3⁠ ⁠

Генри Кривая Шея, 3-й граф Ланкастер и Лестер, умер в 1345 году. Его сын, тоже Генри, родился в 1310-м. Родился в замке Гросмонт, поэтому так его и прозвали.

Генри Гросмонт добился впечатляющих успехов ещё при жизни отца. Он был посвящён в рыцари в 1330-м. В 1333-м участвовал в походе Эдварда III в Шотландию. В 1336-м был назначен заместителем короля по Шотландии. Это был тот момент, когда Шотландия, хотя и на короткое время, снова стала зависимой от Англии, а на её трон при поддержке английских мечей и луков был посажен Эдвард Баллиол.

В 1337 году был восстановлен титул графа Дерби, специально для Генри Гросмонта. Тут уже началась Столетняя война. Граф Дерби участвовал во многих сражениях, в том числе в знаменитой морской битве при Слёйсе в 1340-м.

Некоторое время Генри Гросмонт провёл в плену у фламандцев – он был арестован за долги короля, а выкупаться пришлось самому из своих средств.

В 1345-1347 годах граф Дерби командовал английскими силами в Аквитании. 21 октября 1345 года возле замка Оберош Генри Гросмонт, имея под командованием полторы тысячи воинов, напал на семитысячный французский корпус. Нападение было внезапным, французы не сумели организовать оборону. Полный разгром. За выкуп пленников, захваченных при Обероше, семьи французских рыцарей заплатили 50 тысяч фунтов.

В 1348 году Генри Гросмонт стал кавалером Ордена Подвязки. В 1350-м в морском сражении при Уинчесли Ланкастер спас жизни двум принцам, Эдварду Вудстоку (Чёрному Принцу) и Джону Гонту, своему будущему зятю.

В 1351 году король Эдвард III присвоил графству Ланкастер статус герцогства. Это было второе в Англии герцогство. Первое, Корнуолл, тогда считалось (и сейчас считается) личным владением наследника престола.

При этом Ланкастер стал не просто герцогством, как многие другие впоследствии, а палатинатом, то есть территорией с очень большими автономными правами. До такой степени, что и в настоящее время герцогский титул в Ланкастере важнее королевского.

В 1351-1352 годах, когда военные действия во Франции временно затихли, герцог Ланкастерский совершил поездку в Пруссию, что-то вроде небольшого Крестового похода. Там, в Пруссии, шли постоянные войны, участие в них по папскому указу приравнивалось к походу против неверных и давало отпущение грехов. Многие аристократы этим пользовались. Потом – снова битвы, сражения, стычки во Франции.

Кроме всего прочего, герцог написал книгу. Несмотря на название «Книга божественных лекарств», это совсем не медицинский трактат, а что-то вроде размышлений о смысле жизни с многочисленными автобиографическими вставками.

Генри Гросмонт, первый герцог Ланкастер, граф Лестер, Линкольн и Дерби, умер в 1361 году, вероятно, заразился чумой. У него не было сыновей. Но было две дочери.

7. Рождённый в Генте.

Мод (Матильде) на момент смерти отца было 22 года, она была замужем за Виллемом, герцогом Баварии-Штраубинг, графом Голландии, Зеландии и Эно.

Бланке (Бланш) было только 15 лет, но она тоже была замужем – за Джоном Гонтом, графом Ричмонд, третьим из доживших до совершеннолетия сыновей короля Эдварда III.

Титул герцога Ланкастерского мог передаваться только по мужской линии, поэтому Ланкастер снова стал из герцогства графством.

Как делить остальные титулы и владения? Мод, конечно, старшая. Зато Бланка – невестка короля. Однако, Мод умерла в 1362-м, её единственная дочь – ещё раньше.

Всё досталось Бланке. То есть Джону Гонту. Тут уже папа Эдвард объявил о повторном основании герцогства Ланкастерского, так что молодой принц получил всё-таки все титулы почившего тестя.

Гонт – значит родившийся в Генте. Все сыновья Эдварда III носили прозвища по месту рождения. К примеру, Чёрного Принца на самом деле звали Эдвард Вудсток, по королевскому замку, где он появился на свет.

Джон Гонт в юности служил сначала пажом, потом оруженосцем у того же Генри Гросмонта, но уже в 15 лет был посвящён в рыцари. Для такого стремительного продвижения по службе, конечно, надо было быть сыном короля, но Джон на самом деле стал храбрым рыцарем, а ещё через некоторое время – и умелым полководцем. Он участвовал во многих экспедициях и сражениях Столетней войны, сначала под командованием Генри Гросмонта, позже – в составе сил старшего брата, Чёрного Принца, а потом самостоятельно командовал операциями. В 1373-м он с тридцатитысячным войском прошёл всю Францию от Кале до Бордо, провоцируя французов на битву. Но те сидели как мыши. Увы. Зато трофеев…

Бланка Ланкастерская, первая жена Джона Гонта и дочь Генри Гросмонта, умерла в молодом возрасте в 1369 году.

В 1371-м Джон Гонт женился вторично на Констанце, дочери короля Кастилии и Леона Педро Жестокого, на тот момент уже убитого своим сводным братом Энрике Трастамарой. На этом основании герцог Ланкастерский считал себя кастильским королём и даже ходил в Испанию с войском, чтобы восстановить историческую справедливость. Военные победы он там одержал, но закрепиться не смог, от королевского титула пришлось отказаться.

В 1376 году умер наследник престола принц Эдвард, а вскоре, в 1377 – и сам король Эдвард III. Новым королём Англии стал Ричард Бордосский (снова прозвище по месту рождения), сын Чёрного Принца. Но было ему только десять лет. Реально старшим в роду оставался дядя Джон, который и взял управление государством в свои руки.

Но ненадолго. Юный король тяготился слишком плотной опекой дяди. У него стали появляться новые советники и новые фавориты. В 1383-м Джон Гонт был отстранён от власти. Хотя он и продолжал пользоваться авторитетом, и неизменно был у короля в милости, но реальное его участие в государственных делах было минимально. Несмотря на всё это, в 1390 году Джон Гонт стал не только герцогом Ланкастерским, но ещё и герцогом Аквитанским.

Если считать детей, доживших до совершеннолетия (детская смертность была высокой даже в таких знатных семьях), то у Джона Гонта было четыре дочери и четыре сына.

Старший из сыновей, Генри Болингброк – от Бланки Ланкастерской. Тоже прозвище по месту рождения, замок Болингброк в Линкольншире.

Трое – от любовницы Кэтрин Суинфорд. Правда, после смерти Констанцы Кастильской герцог всё-таки на Кэтрин женился, их дети были узаконены, но с ограничениями в правах.

Кстати, Филиппа, сестра Кэтрин Суинфорд, была замужем за великим английским поэтом Джеффри Чосером. Герцог и поэт стали таким образом свояками. Впрочем, они и раньше были хорошо знакомы. Чосер в 1369 году написал поэму о только что скончавшейся Бланке Ланкастерской, а герцог поэту покровительствовал.

В 1386 Филиппа, старшая дочь Джона Гонта, вышла замуж за короля Португалии Жуана I. Один из редких примеров, когда династический брак был основой реального союза государств, и союз этот держался аж до XX века.

Умер Джон Гонт в 1399 году. Все его владения были конфискованы в пользу Короны. Почему?

Продолжение следует.

Фото автора

Научная литература⁠ ⁠

Хотел бы поделиться своей библиотекой научной литературы. Большая часть книг была скачена через местную локальную сеть в середине 00-х у отца моего друга - отличного математика, программиста и просто хорошего человека. К сожалению ныне покойного. Остальное осталось со времен моей учебы в институте (2002-2007). Надеюсь, что все это кому-то будет полезным.

Начало истории Египта⁠ ⁠

Это выдержка из моей первой крупной работы на Спонсоре. Полная версия (с иллюстрациями), а также возможность подписаться на мой проект - здесь.

Древний Египет был одной из величайших мировых цивилизаций. Он был "благословлен" умеренно теплым климатом, рекой, которая регулярно разливалась и удобряла землю, и относительной изоляцией от иностранных захватчиков в течение первых 10 веков своего существования.

Достижения древних египтян многочисленны и разнообразны. Они были пионерами в архитектуре, строя комфортабельные дома, а также монументальные храмы и гробницы. Их строители изобрели все способы соединения дерева, известные плотникам, а также методы воздушного охлаждения домов и даже строительства уборных. Их писцы разработали одну из первых в мире систем письма, которую они использовали для ведения записей и создания историй, стихотворений и религиозных текстов. Они также разработали раннюю систему чисел, которую использовали для расчета налогов и измерения веса, расстояния и времени. Их ремесленники разработали методы и инструменты для работы с медью, оловом, бронзой и драгоценными металлами, такими как серебро и золото. Их ученые исследовали астрономию, инженерное дело и медицину, а их художники создавали скульптуры, начиная от миниатюрных фигурок, найденных в гробницах, и заканчивая Великим Сфинксом в Гизе.

Додинастический Египет (до 3100 года до н.э.)

Окружающая среда была единственным наиболее влиятельным фактором для людей Древнего Египта. По мере того, как влажный климат в конце последнего ледникового периода отступал, Северная Африка начала постепенно превращаться в пустыню, и народам вблизи Нила, привыкшим к травянистым равнинам и изобилию растений и диких животных, пришлось приспосабливаться к растущему дефициту. Вероятно, организованные в племена, эти люди начали выращивать ячмень и пшеницу и одомашнивать дикий скот, который в изобилии водился в их местности.

Нелегко им было приспособиться к жизни вдоль Нила, который ежегодно разливался. На тот момент, первые египтяне только начинали использовать природу для своих нужд. Людям приходилось учиться выращивать урожай на зыбкой почве, а также направлять и хранить паводковые воды, чтобы обеспечить урожаи, чтобы прокормить свои семьи. Развитие навыков методом проб и ошибок, заняло столетия. В течение длительного периода египтяне мигрировали между все более иссушаемыми Западными и Восточными пустынями и долиной Нила, следуя сезонным закономерностям растительности и животных.

Самые ранние человеческие останки в Египте были найдены в пустынном районе под названием Набта-Плайя (к западу от Абу-Симбела). Десять тысяч лет назад эта местность была покрыта деревьями и травой. Растительность поддерживала жизнь разным животным: слонам, носорогам, жирафам, оленям, антилопам и страусам. В Набте были также обнаружены не только ритуально захороненные останки людей, но и дикого скота, что говорит о зарождающихся религиозных основах в среде первых египтян.

Примерно к 7000 году до н.э. древние народы, существовавшие на территории Египта, начали возводить дома и другие каменные сооружения. Самое старое поселение, датируемое примерно 5000 годом до н.э., находится в Восточной пустыне. Его жители занимались сельским хозяйством, пекли хлеб, варили пиво, пасли скот, ловили рыбу в Красном море, плавали на лодках, обжигали горшки и вырезали религиозные предметы из кости и дерева. Они торговали с народами Юго-Западной Азии и, возможно, были самым ранним связующим звеном между народами Египта и Шумера.

К этому времени додинастические египтяне уже научились использовать Нил для орошения своих посевов и транспортировки предметов своего труда. У них были одомашненные собаки, ослы, крупный рогатый скот, овцы и козы. Они создали религиозные культы, построили небольшие храмы, основали город, известный как Иераконполь (или, с достаточно большой стеной и церемониальными воротами, а также начали формировать социально-экономическую иерархию и политическую систему. Племенная организация уступила место прото-классовому обществу.

К четвертому тысячелетию до н.э. первые города-государства объединились в два царства: одно в районе дельты Нила (Нижний Египет), называемое Красной Землей, другое - Верхний Египет, называемое Белой Землей. Это все происходило одновременно с превращением египетских земель из плодородной равнины в пустыню, прерываемую только оазисами и рекой Нил.

Раннединастический период (3100-2686 гг. до н.э.)

Говорят, что Нармер (также иногда называемый Менесом), первый фараон, правивший объединенным Египтом, царствовал 67 лет. Его правление увековечено каменной табличкой - Палеткой Нармера, которая была раскопана в храме в Иераконполисе, на которой изображен Нармер в конической короне, которая может означать Верхний Египет, и хватающий коленопреклоненного человека (возможно, представляющего Нижний Египет) за волосы. Точная дата создания таблички оспаривается учеными, но точно она была создана после 3000 года до н.э.

Нармер ответственен за основание первой столицы Древнего Египта Мен-Нефер, которую греки называли Мемфис, которая располагалась примерно в 19 километрах к югу от Каира на западном берегу Нила. Он оставался главным городом египетских правителей, пока его не затмили Фивы к около 1300 году до н.э. К югу от Мемфиса находится обширное кладбище Саккара, на котором находятся самые ранние мастабы (отдельно стоящие гробницы). Некоторые из них использовались членами царской семьи и знати и были украшены рельефами, изображающими жизни, которые умерший надеялся найти в загробном мире. Древние египтяне верили, что, если мертвое тело разложится, его владелец не сможет наслаждаться загробной жизнью. Жрецы ранних династий открыли, как сохранять тела своих умерших царей, чтобы они могли наслаждаться загробной жизнью.

Поскольку климат Египта жаркий и сухой, некоторые тела могли сохраниться естественным путем, но процессы мумификации обеспечили их дальнейшее существование. Эти существенные черты архаического периода послужили образцом для культуры всех последующих египетских династий.