Математическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч. 3. Уравнения движения Текст научной статьи по специальности «Математика»
Современные конструкционные и функциональные материалы, представляющие собой совокупность микро и наноструктурных элементов, находят широкое применение в технике. Важным этапом в создании и использовании рассматриваемого класса материалов является построение математических моделей, позволяющих описать поведение этих материалов в широком диапазоне изменения внешних воздействий. Однако общая методология построения математических моделей еще далека от завершения. Предложен вывод уравнения движений с учетом особенностей малоразмерных материалов ( нелокальность среды , моментность напряженного состояния). Для получения определяющих уравнений использованы соотношения рациональной термодинамики необратимых процессов с внутренними параметрами состояния , а также метод непрерывной аппроксимации обобщенной механики сплошной среды. Полученные формы записи уравнений движения позволяют учесть основные особенности материалов с малоразмерной структурой при их нестационарном деформировании.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кувыркин Г. Н.
MATHEMATICAL MODEL OF NON-LOCAL THERMAL VISCOELASTIC MEDIUM. PART 3. EQUATIONS OF MOTION
Modern structural and functional materials presenting an aggregate of microand nanostructured elements find wide application in technology. An important stage in creating and using the class of materials under consideration is the construction of mathematical models providing the description of behavior of these materials within a broad range of variations in exposure conditions. However the general methodology for mathematical model construction is still far from being complete. Here a derivation of equations of motion is offered taking into account the features of small-size materials (continuum non-locality, momentary stress states). For deducing the equations, the relationships of rational thermodynamics of irreversible processes with internal state parameters , as well as the method of continuous approximation of the generalized mechanics of continuum are used. The obtained forms for writing equations of motion make it possible to take into consideration the main peculiarities in nonstationary deforming of materials with the small-size structure.
Текст научной работы на тему «Математическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч. 3. Уравнения движения»
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ. Ч.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: fn2@bmstu.ru
Современные конструкционные и функциональные материалы, представляющие собой совокупность микро- и наноструктурных элементов, находят широкое применение в технике. Важным этапом в создании и использовании рассматриваемого класса материалов является построение математических моделей, позволяющих описать поведение этих материалов в широком диапазоне изменения внешних воздействий. Однако общая методология построения математических моделей еще далека от завершения. Предложен вывод уравнения движений с учетом особенностей малоразмерных материалов (нелокальность среды, моментность напряженного состояния). Для получения определяющих уравнений использованы соотношения рациональной термодинамики необратимых процессов с внутренними параметрами состояния, а также метод непрерывной аппроксимации обобщенной механики сплошной среды. Полученные формы записи уравнений движения позволяют учесть основные особенности материалов с малоразмерной структурой при их нестационарном деформировании.
Ключевые слова: нелокальная среда, внутренние параметры состояния, уравнения движения.
MATHEMATICAL MODEL OF NON-LOCAL THERMAL VISCOELASTIC MEDIUM. PART 3. EQUATIONS OF MOTION
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: fn2@bmstu.ru
Modern structural and functional materials presenting an aggregate of micro- and nanostructured elements find wide application in technology. An important stage in creating and using the class of materials under consideration is the construction of mathematical models providing the description of behavior of these materials within a broad range of variations in exposure conditions. However the general methodology for mathematical model construction is still far from being complete. Here a derivation of equations of motion is offered taking into account the features of small-size materials (continuum non-locality, momentary stress states). For deducing the equations, the relationships of rational thermodynamics of irreversible processes with internal state parameters, as well as the method of continuous approximation of the generalized mechanics of continuum are used. The obtained forms for writing equations ofmotion make it possible to take into consideration the main peculiarities in nonstationary deforming of materials with the small-size structure.
Keywords: non-local continuum, internal state parameters, equations of motion.
Обобщенная механика сплошной среды, использующая метод непрерывной аппроксимации [1], находит широкое применение при изучении материалов с малоразмерной структурой [2, 3], к числу которых относятся современные конструкционные и функциональные материалы, полученные различными способами из нано- и микроразмерных элементов [4, 5].
Важным этапом в создании и использовании материалов рассматриваемого класса является построение математических моделей, позволяющих описать их поведение в широком диапазоне изменения внешних воздействий. В работах [6, 7] на основе соотношений рациональной термодинамики необратимых процессов [8] для сплошной среды с внутренними параметрами состояния [9] сформулированы определяющие уравнения и предложены различные формы уравнения теплопроводности для материалов с малоразмерной структурой. В настоящей статье разработанные соотношения использованы для получения различных форм уравнений движения для материалов рассматриваемого класса.
В работе [5] представлены следующие выражения для компонент тензоров напряжений оц = оц и моментных напряжений шц:
0 (2) где Cijkl = Cklji — компоненты тензора коэффициентов упругости,
■■1,1 114 I i \ 1 (dUk I dul\ I
Jm rm; n 1 м 1 о
+— —--—— + в1ктрт — компоненты тензора микродеформа-
ции, £ы — компоненты симметричного тензора малой деформации; пк, рт — проекции векторов перемещения и микроповорота на оси прямоугольной системы координат, т = 1, 2, 3; хк, х — декартовы координаты; ек1т — символ Леви-Чивиты; М^, М<^1 — компоненты тензоров, определяющие вязкие свойства среды только при макро- и микроповоротах (шт, рт); Ь*, Ь*т — времена релаксации соответству-
ющих напряжений; вхк1 , вук1 — компоненты тензоров температурной деформации и деформации, обусловленной термодинамической тем-
пературой к; £к1 = —--компоненты градиента вектора микропово-
рота; р(\х' — х\) — функции влияния, определяющие эффект пространственной "памяти", причем
а также р(\х' — х\) = 0 только при \х' — х\ Е V(х').
Уравнения закона сохранения количества движения и его момента для микрополярной среды имеют вид [6]
д2п = дазг + ь . Р дх3 '' /оЧ
д.. + дтзг + (V) . . 1 2 3 (3)
где р — плотность среды; Ь — время; . — проекции вектора внутреннего спина; Ьг, т^ — проекции векторов плотности объемных сил и плотности моментов, распределенных по объему.