Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Первая часть.

Числовой ряд можно задать по-разному. Чаще всего просто используют запись вида $\sum\limits_^u_n$. Однако изредка указывают несколько первых членов ряда, по которым нужно восстановить общий член ряда. Честно говоря, подобные задачи не имеют единственного решения, и это будет продемонстрировано в примере №1. Впрочем, есть некие общие приёмы, которые применяют в стандартных случаях.

Для начала стоит запомнить несколько последовательностей. Например, квадраты натуральных чисел, т.е. последовательность $u_n=n^2$. Вот несколько первых членов этой последовательности:

Как мы получили эти числа? показать\скрыть

Общий член последовательности имеет вид $u_n=n^2$. Подставляя $n=1$, получим:

Это и есть первый член последовательности. Подставляя $n=2$ в $u_n=n^2$, получим второй член последовательности:

Если подставить $n=3$, то получим третий член последовательности:

Точно так же находим четвёртый, пятый, шестой и иные члены последовательности. Вот так и получаем соответствующие числа:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Также стоит иметь в виду члены последовательности $u_n=n^3$. Вот несколько первых её членов:

Кроме того, для формирования общего члена ряда частенько используется последовательность $u_n=n!$, несколько первых членов которой таковы:

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Часто используются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии равен $a_1$, а разность равна $d$, то общий член арифметической прогрессии записывается с помощью такой формулы:

Что такое арифметическая прогрессия? показать\скрыть

Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами неизменна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии. Для примера рассмотрим такую последовательность:

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, разность между последующим и предыдущим членами всегда будет постоянной и равной 7:

Это число, т.е. 7, и есть разность прогрессии. Обычно её обозначают буквой $d$, т.е. $d=7$. Первый элемент прогрессии $a_1=3$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы (4). Подставляя в неё $a_1=3$ и $d=7$, будем иметь:

Для наглядности найдём по формуле $a_n=7n-4$ несколько первых членов арифметической прогрессии:

\begin & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4=7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end

Подставляя в формулу $a_n=7n-4$ любое значение номера $n$, можно получить любой член арифметической прогрессии.

Стоит также отметить геометрическую прогрессию. Если первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, то общий член геометрической прогрессии задаётся такой формулой:

Что такое геометрическая прогрессия? показать\скрыть

Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами постоянно. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии. Для примера рассмотрим такую последовательность:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, отношение последующего к предыдущему всегда будет постоянным и равным 3:

Это число, т.е. 3, и есть знаменатель прогрессии. Обычно его обозначают буквой $q$, т.е. $q=3$. Первый элемент прогрессии $b_1=6$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы (5). Подставляя в неё $b_1=6$ и $q=3$, будем иметь:

Для наглядности найдём по формуле $b_n=6\cdot 3^$ несколько первых членов геометрической прогрессии:

\begin & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4=6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end

Подставляя в формулу $b_n=6\cdot 3^$ любое значение номера $n$, можно получить любой член геометрической прогрессии.

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Найти общий член ряда $\frac+\frac+\frac+\frac+\ldots$.

Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда. И на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Что означает фраза "найти общий член"? Она означает, что необходимо найти такое выражение, подставляя в которое $n=1$ получим первый член ряда, т.е. $\frac$; подставляя $n=2$ получим второй член ряда, т.е. $\frac$; подставляя $n=3$ получим третий член ряда, т.е. $\frac$ и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:

Давайте двигаться постепенно. Все известные нам члены ряда – дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:

Наша задача – выяснить, что же скрывается под знаками вопроса в числителе и знаменателе. Сначала обратимся к числителю. В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго – двойка, у третьего – тройка, у четвёртого – четвёрка.

Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять $n$:

Кстати сказать, к этому выводу мы можем прийти и иным путём, более формальным. Что представляет собой последовательность 1, 2, 3, 4? Отметим, что каждый последующий член этой последовательности на 1 больше, чем предыдущий. Мы имеем дело с четырьмя членами арифметической прогрессии, первый член которой $a_1=1$, а разность $d=1$. Используя формулу (4), получим выражение общего члена прогрессии:

Итак, угадывание или формальный расчёт – дело вкуса. Главное – мы записали числитель общего члена ряда. Перейдём к знаменателю.

В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен $b_1=7$, а разность $d=2$. Общий член прогрессии найдем, используя формулу (4):

Полученное выражение, т.е. $2n+5$, и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:

Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула $u_n=\frac$ для вычисления уже известных членов ряда. Найдём члены $u_1$, $u_2$, $u_3$ и $u_4$ по формуле $u_n=\frac$. Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.

Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: $\sum\limits_^\frac$. Общий член ряда имеет вид $u_n=\frac$.

В принципе, если речь идёт о стандартном примере, то можно считать, что ответ получен. Однако если вам интересно поисследовать вопрос более детально, то прошу читать далее. Вопрос вот в чём: является ли найденное выше представление общего члена единственным? Ответ на этот вопрос далеко не столь очевидный, как кажется на первый взгляд. Например, давайте продолжим заданный в условии ряд таким образом:

Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что

Можно записать и иное продолжение. Например, такое:

И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что

Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:

Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:

Как видите, предложенная формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.

Во всех последующих примерах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.

Ответ: общий член ряда: $u_n=\frac$.

Нам известны первые пять членов ряда:

Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:

Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.

Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член $a_1=1$, а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа $d=2$. Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы (4):

В произведениях $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ вторые числа таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой $b_1=5$, а знаменатель $d=3$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы (4):

Сведём результаты воедино. Произведение в знаменателе общего члена ряда таково: $(2n-1)(3n+2)$. А сам общий член ряда имеет следующий вид:

Для проверки полученного результата найдём по формуле $u_n=\frac$ те четыре первых члена ряда, которые нам известны:

Итак, формула $u_n=\frac$ позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так: