Моделирование движения самобалансирующегося велосипеда

Допустим, вы двигаетесь на велосипеде, и вдруг кто-то толкает вас сбоку. Чтобы быстро восстановить равновесие и избежать падения, вы повернете руль велосипеда в направлении толчка. Велосипедисты делают это рефлекторно, но удивительно, что велосипед может выполнить это действие самостоятельно. Современные велосипеды могут самостоятельно удерживать равновесие даже при движении без управления. Посмотрим, как этот эффект можно смоделировать в COMSOL Multiphysics.

Современный велосипед не очень сильно отличается от безопасного велосипеда — одной из первых конструкций, появившейся в 80-х годах XIX века. По прошествии более ста лет ученые все еще пытаются выяснить, за счет каких эффектов велосипед становится самобалансируемым. Другими словами, как неуправлемый велосипед сохраняет равновесие в вертикальном положении? Описанию движения велосипеда с помощью аналитических уравнений посвящено множество опубликованных работ. Одной из первых важных публикаций по этой теме была статья Фрэнсиса Уиппла, в которой он получил общие нелинейные уравнения динамики велосипеда, управляемого велосипедистом без использования рук.

Принято считать, что устойчивость велосипеда обеспечивается двумя факторами — гироскопической прецессией переднего колеса и стабилизирующим действием продольного наклона оси поворота колеса. Совсем недавно команда исследователей из Делфта и Корнелла (см. ссылку №3) опубликовала всеобъемлющий обзор линеаризованных уравнений движения для модели велосипеда Уиппла. Они использовали свои результаты для демонстрации самобалансирующегося велосипеда. Их исследование показывает, что этому явлению нельзя дать простое объяснение. Сочетание факторов, в том числе гироскопического и стабилизирующего эффектов, геометрии велосипеда, скорости и распределения массы позволяет неуправляемому велосипеду сохранять вертикальное положение.

Вдохновившись этой работой, мы построили динамическую модель многотельной системы, чтобы продемонстрировать самобалансирующееся движение велосипеда, управляемого велосипедистом без помощи рук.

Положение велосипеда в разные моменты времени.

Эта учебная модель рассчитывает динамику движения велосипеда, управляемого велосипедистом без помощи рук, на плоской поверхности при воздействии поперечной силы, вызывающей отклонение от прямолинейного движения. Мы продолжили исследование, чтобы проанализировать, как велосипед самобалансируется при различных величинах скорости и наклона оси.

Чтобы построить модель велосипеда, сделаем следующие допущения:

• Все компоненты считаются жесткими.
• Трение во всех шарнирах не учитывается.
• Колеса велосипеда моделируются в предположении касательного контакта с землей.
• К колесам приложены ограничения на вращение.
• Предполагается, что велосипед двигается по плоской поверхности.
• Предполагается, что велосипедист не использует руки для управления велосипедом, что задано путем увеличения массы на задней раме.

Велосипед состоит из четырех жестких компонентов — заднего колеса, задней рамы, объединенной с велосипедистом, передней рамы с рулем и переднего колеса. Хотя колеса имеют конечную толщину, будем считать, что они имеют точечный контакт с землей. Задняя часть рамы и заднее колесо соединены с помощью шарнира. Еще один шарнир соединяет две части рамы. Ось этого шарнира формирует рулевую ось велосипеда. Третий шарнир соединяет переднее колесо и переднюю часть рамы.

Геометрия велосипеда в COMSOL Multiphysics.

Геометрия велосипеда, используемая в этой модели, показана выше. Инерционные свойства компонентов велосипеда определяются массой, моментом инерции и положением центра масс. Важными геометрическими параметрами являются радиус колеса, колесная база (wb) и направление оси наклона (st). Наклон рулевой оси контролирует уход вилки переднего колеса (c).

Как упоминалось ранее, считается, что велосипед катится по поверхности. В случае чистого качения, скорость в точке контакта с землей равна нулю. В этой модели вращение колеса реализовано без использования каких-либо контактных взаимодействий для уменьшения вычислений. Вместо этого мы используем альтернативные подходы динамики многотельных систем для моделирования движения. Чтобы описать отклонение от курса, наклон и вращательное движение колеса, создаются три соответствующие безынерционные связи. Мы задаем три ограничения по проскальзыванию, чтобы ограничить проскальзывание колес в прямом направлении, в поперечном направлении, и перпендикулярно поверхности контакта. Так как зафиксировать скорость не представляется возможным, мы введем ограничение перемещения.

Ниже мы расскажем, как задается это ограничение. Более подробно это условие описано в учебной модели вращения жесткого колеса.

Чтобы обеспечить чистое качение колес и ограничить их проскальзывание в трех направлениях, нам нужны три граничных условия.

Модель колеса с отображением направлений, в которых ограничены перемещения.

Используются следующие ограничения: Отсутствие проскальзывания в прямом направлении:

Отсутствие проскальзывания в поперечном направлении:

Отсутствие проскальзывания перпендикулярно поверхности контакта с землей:

где \bold_ , \bold_ , and \bold_ — мгновенное направление (наклонная ось), поперечное направление (ось вращения) и нормаль к поверхности контакта (\bold_=\bold_ \times\bold_) , соответственно;

\frac — поступательная скорость движения; r — радиус колеса; \frac — угловая скорость вращения; \frac — угловая наклонная скорость.

Поскольку применить указанные граничные условия к скорости невозможно, они дискретизируются во времени и накладываются следующим образом:

где \bold_

, \bold_ и \bold_ — это вектор смещения, угол вращения и наклона в предыдущий момент времени, соответственно.

В дискретных граничных условиях, обеспечивающих отсутствие проскальзывания, используется результат расчета положения колеса на предыдущем шаге по времени. Положение жесткого тела, вращение и мгновенные положения осей на предыдущем шаге по времени сохраняются с помощью глобальных уравнений и узла Previous Solution в нестационарном решателе.

Для анализа мы выбрали велосипед, угол наклона руля которого составляет 18°. Начальное значение скорости велосипеда составляет 4.6 м/с. Через 1 секунду после начала движения на велосипед в течение очень короткого периода времени воздействует сила 500 Н. Под действием силы велосипед отклоняется от прямолинейной траектории движения в заданном направлении.

В течении первой секунды велосипед движется вперед вдоль первоначально заданного направления с постоянной скоростью. Затем боковое усилие вызывает отклонение. Отметим, что велосипедист не держит руки на руле и не может управлять балансом велосипеда. Что происходит дальше? Мы можем заметить, что как только велосипед начинает наклоняться, руль поворачивается в направлении падения. Корректировка положения руля при падении приводит к восстановлению равновесия велосипеда.

Велосипед продолжает двигаться вперед, и в процессе движения начинает наклоняться в обратную сторону. Этот наклон меньше по величине, а движение руля точно следует за наклоном с небольшим отставанием. Такое колебание вправо-влево продолжается и в конечном итоге затухает. Велосипед движется вперед в строго вертикальном положении и слегка увеличивает скорость. Колебания руля, углы поворота и угловая скорость постепенно снижаются и затухают.

Движение велосипеда на ровной поверхности при отклонении от прямолинейного движения. Стрелка показывает наклон велосипеда.

Результаты расчета углов наклона и поворота руля (слева) и относительная угловая скорость (справа) велосипеда.

Таким образом, мы узнали, что велосипед может самобалансироваться. Исследование показало, что невозможно выделить какой-то один параметр, определяющий устойчивость велосипеда. Конструкция велосипеда, распределение массы и скорость движения — все эти факторы влияют на устойчивость. Чтобы лучше понять это явление, мы провели дополнительный анализ для изучения влияния двух параметров — начальной скорости и наклона рулевой оси. Мы использовали описанную выше модель велосипеда с углом наклона оси руля 18° и начальной скоростью 4.6 м/с в качестве исходной конфигурации и провели параметрический анализ влияния этих двух факторов.

Велосипед не может оставаться в строго вертикальном положении, когда стоит на месте. Мы изменяли скорость движения от 2.6 м/с до 6.6 м/с с шагом 1 м/с, чтобы оценить влияние этого параметра. В диапазоне 2.6–3.6 м/с велосипед наклоняется слишком сильно и неустойчив. На скорости 5.6 м/с скорость наклона стремится к нулю, но сам угол наклона приобретает ненулевое значение. Хотя данная конфигурация устойчива, велосипед будет двигаться по кругу с небольшим наклоном. На 6.6 м/с наклон и угол поворота руля увеличиваются со временем, делая движение неустойчивым.

Неустойчивое Устойчивое Неустойчивое 2.6 м/с 3.6 м/с 4.6 м/с 5.6 м/с 6.6 м/с

Устойчивый случай соответствует скорости 5.6 м/с (слева), а неустойчивый — скорости 6.6 м/с (справа).

Узел рулевого управления очень важен для самобалансировки велосипеда. Если велосипедом невозможно управлять (например, если руль заклинило), то велосипед не сможет компенсировать наклон, поэтому он в итоге упадет. В этой связи, поворот оси руля, который контролирует уход вилки, также влияет на самобалансировку велосипеда.

Чтобы проанализировать влияние поворота оси руля на устойчивость велосипеда, мы изменяли углы поворота руля от 15° до 21° с шагом 1°. При угле в 15° наклон и угол поворота руля увеличиваются со временем, что делает данную конфигурацию неустойчивой. Велосипед устойчив в диапазоне от 16° до 19° и неустойчив для больших углов. При значениях поворота больше 19°, наклон и угол поворота колеблются, и эти осцилляции со временем возрастают, что приводит к потере устойчивости.

Неустойчивое Устойчивое Неустойчивое Наклон 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° Уход вилки 0.066 м 0.0706 м 0.0753 м 0.08 м 0.0848 м 0.0896 м 0.0945 м

Два случая неустойчивости с поворотом в 15° (слева) и 21° (справа).

В этой публикации мы рассказали, как смоделировать движение неуправляемого самобалансирующегося велосипеда с помощью  модуля Динамика многотельных систем (Multibody Dynamics) в COMSOL Multiphysics. Мы продемонстрировали, как реализовать ограничения на проскальзывание на жестком колесе через уравнения, а затем объединили эти ограничения с многотельной моделью велосипеда. Затем мы проанализировали влияние начальной скорости и поворота оси на устойчивость велосипеда. Оценив эти параметры, мы увидели, что велосипед может сохранять устойчивость в одной конфигурации и терять ее в другой.

Самобалансировка велосипеда является следствием целого ряда факторов. С помощью нашего анализа и в соответствии с предыдущими исследованиями мы продемонстрировали, что устойчивость велосипеда связана с его способностью "подруливать" в направлении наклона.