Выбор отрезка, для которого истинно универсальное высказывание. Более сложные задачи с решениями.

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Варианты ответов: 1) [7, 33] 2) [17, 33] 3) [7, 43] 4) [17, 43] Решение: Первый элемент конъюнкции ( (x ∈ P) → (x ∈ A) ) истинен для всех x, если P ⊂ A. Второй элемент конъюнкции ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) ) истинен для всех x, если A ⊂ Q. Таким образом, конъюнкция тождественно истинна тогда и только тогда, когда P ⊂ A ⊂ Q. Этому условию удовлетворяет только отрезок [17, 33] . Ответ: [17, 33] (вариант 2).

A10.2 На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16] и Q = [10, 20] . Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → ¬ (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Варианты ответов: 1) [5, 15] 2) [5, 25] 3) [5, 35] 4) [15, 35] Решение: Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈ А)) \/ ( ¬ (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

Выражение ( ¬ (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P) истинно для тех только тех x, которые либо лежат в P, либо не лежат в Q, иными словами – для x ∈ R, где R = (-∞, 15]∪(21, +∞). Выражение

тождественно истинно тогда и только тогда, когда A ⊂ R. Этому условию удовлетворяет только отрезок [5, 15] . Ответ: [5, 1] (вариант 1).

A10.3 На числовой прямой даны два отрезка: P = [14, 34] и Q = [24, 44] . Выберите такой отрезок A, что формула (x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Варианты ответов: 1) [15, 19] 2) [25, 29] 3) [35, 39] 4) [9, 45] Решение: Формула (x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда A∩P = A∩Q, т.е. A ⊂ (P∩Q) ∪((-P)∩(-Q)), где –X обозначает дополнение множества X. Этому условию удовлетворяет только отрезок [21, 29] . Ответ: [25, 29] (вариант 2).

A10.4 На числовой прямой даны два отрезка: P = [54, 84] и Q = [64, 94] . Выберите такой отрезок A, что формула

(x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок. Варианты ответов: 1) [25, 40] 2) [45, 61] 3) [65, 82] 4) [75, 83] Решение: Формула (x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда A∩P = A∩Q, т.е. A ⊂ (P∩Q) ∪((-P)∩(-Q)), где –X обозначает дополнение множества X. Этому условию удовлетворяют отрезки [25, 40] и [65, 82] . Более длинный из них – отрезок [65, 82] . Ответ: [65, 82] (вариант 3).

A10.5 На числовой прямой даны два отрезка: P = [34, 64] и Q = [74, 94] . Выберите такой отрезок A, что формула

(x ∈ P) → ( (x ∈ A) ≡ (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок. Варианты ответов: 1) [5, 33] 2) [25, 42] 3) [45, 71] 4) [65, 90] Решение: Формула (x ∈ P) → ( (x ∈ A) ≡ (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда P∩A = P∩Q. Т.к. P∩Q – пустое множество, то A не должно пересекаться с P. Этому условию удовлетворяют отрезки [5, 33] и [65, 90] . Более длинный из них – отрезок [5, 33] . Ответ: [5, 33] (вариант 1).

A10.6 На числовой прямой даны два отрезка: P = [34, 84] и Q = [44, 94] . Выберите такой отрезок A, что формула

(x ∈ P) → ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок. Варианты ответов: 1) [45, 60] 2) [65, 81] 3) [85, 102] 4) [105, 123] Решение: Формула (x ∈ P) → ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда P∩A ⊂ P∩Q. Этому условию удовлетворяют все указанные отрезки. Наиболее длинный из них – отрезок [105, 123] . Ответ: [105, 123] (вариант 4).

A10.7 На числовой прямой даны два отрезка: P = [30, 50] и Q = [70, 90] . Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ Q) /\ ( (x ∈ А) ) → ( (x ∈ A) ) /\ ( (x ∈ P) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок. Варианты ответов: 1) [25, 55] 2) [35, 66] 3) [45, 77] 4) [55, 98] Решение: Формула ( (x ∈ Q) /\ ( (x ∈ А) ) → ( (x ∈ A) ) /\ ( (x ∈ P) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда Q∩A ⊂ P∩A. Так как множества Q и P не пересекаются, то это возможно только, если A∩Q=Æ. Это выполнено только для отрезков [25, 55] и [35, 66] . Более длинный из них – отрезок [35, 66] . Ответ: [35, 66] (вариант 2).

A10.8 На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 26] и Q = [30, 50] . Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

(¬(x ∈ А)) \/ ( (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P) (1)

Выражение ( (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P) истинно для тех только тех x, которые лежат в P∪Q. То есть выражение (1) эквивалентно

Последнее выражение тождественно истинно тогда и только тогда, когда A ⊂ P∪Q. Этому условию удовлетворяет только отрезок [5, 15] .

Ответ: [8, 18] (вариант 2).

A10.9 На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16] и Q = [30, 50] . Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

Какова наибольшая возможная длина отрезка A? Варианты ответов: 1) 10 2) 20 3) 21 4) 30

A10.10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50] . Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

Какова наибольшая возможная длина отрезка A? Варианты ответов: 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40

2 комментария

Не понял честно говоря. Самый первый не понял. Откуда получился отрезок (18;31)? Почему именно 18 и 31?

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎