Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.

Матрица $A^$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^\cdot A=A\cdot A^=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^$, требуется осуществить три шага:

1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
2. Составить алгебраические дополнения $A_$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_^=\left(A_ \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^=\frac\cdot ^T$.

Матрицу $^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left( \begin 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end \right)$.

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Ответ: матрицы $A^$ не существует.

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin -5 & 7 \\ 9 & 8 \end\right)$. Выполнить проверку.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin -5 & 7\\ 9 & 8 \end\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^=\left( \begin 8 & -9\\ -7 & -5 \end\right)$.

Транспонируем полученную матрицу: $^T=\left( \begin 8 & -7\\ -9 & -5 \end\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^=\frac\cdot ^T$, имеем:

Итак, обратная матрица найдена:

Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^\cdot A=E$ или $A\cdot A^=E$. Проверим выполнение равенства $A^\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^$ не в форме $\left( \begin -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end\right)$, а в виде $-\frac\cdot \left( \begin 8 & -7\\ -9 & -5 \end\right)$:

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^$ найдена верно.

Ответ: $A^=\left( \begin -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end\right)$.

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left( \begin 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end \right)$. Выполнить проверку.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ \Delta A=\left| \begin 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end \right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

Используя формулу $A^=\frac\cdot ^T$, получим:

$$ A^=\frac\cdot \left( \begin 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end \right)= \left( \begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end \right) $$

Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^\cdot A=E$ или $A\cdot A^=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^$ не в форме $\left( \begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end \right)$, а в виде $\frac\cdot \left( \begin 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end \right)$:

$$ A\cdot =\left( \begin 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end \right)\cdot \frac\cdot \left( \begin 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end \right) =\frac\cdot\left( \begin 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end \right) =\left( \begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end \right) =E $$

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^$ найдена верно.

Ответ: $A^=\left( \begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end \right)$.

Найти матрицу, обратную матрице $A=\left( \begin 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end \right)$.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:

Матрица из алгебраических дополнений:

$$A^*=\left(\begin 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end\right)$$

$$ A^=\frac\cdot \left( \begin 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end \right)= \left( \begin 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end \right) $$

Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.

Ответ: $A^=\left( \begin 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end \right)$.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).